Fundamentos de Continuidad y Teoremas Clave: Bolzano y Rolle
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FuncionContinuaPunto: Una función es continua cuando 1Existe limite de la función cuando x se aproxima a "a". 2 La función está definida en el punto "a", es decir, existe f(a). 3 Si coinciden los dos valores anteriores. Continuidad lateral.
TeoremaBolzano: f continua en |a,b|. F(a) y f(b) distinto signo → Ξ c &épsilon; (a,b) / f(c)=o
Si f es continua en el intervalo cerrado |a,b| y si el signo de f(a) es distinto del signo de f(b) entonces existe por lo menos un punto c &épsilon; (a,b) tal que f(c)=0 Geométricamente: El teorema afirma que si queremos dibujar una línea continua que vaya desde el semiplano inferior al superior o viceversa, habrá que cortar al eje OX por lo menos una vez.
TeoremaRolle: Si f es una función continua en |a,b|. F es derivable en (a,b). F(a)=f(b) → Ξ c &épsilon; (a,b) / f´(c)=0.
Geométricamente: Si para que cada punto de la curva y=f(x) en el intervalo (a,b) se puede trazar la recta tangente, por lo menos una de ellas es paralela al eje OX, es decir, existe por lo menos un punto con tangente horizontal (pendiente nula).
EjercicioBolzanoRolle: Si f es una función continua en |a,b|. F es dervable en (a,b). F(a)=f(b) → Ξ c &épsilon; (a,b) / f´(c)=0.
Si consideramos la función f(x) y calculamos su derivada y las raíces de la función derivada, f´(x)... Entonces f´(x)=0 ↔ f´(x)...=0 (Sacar la x).
La derivada tiene una única raíz. La función f(x) no puede tener mas de dos raíces reales.
Reducción al absurdo: Supongamos que f(x)=0 tiene tres raíces a,b,c, entonces se cumple que f(a)=, f(b)=0, f(c)=0.
Aplicando el teorema de Rolle, al intervalo |a,b| y al intervalo |b,c| tenemos que:
1.- f es una función continua en |a,b|. F es derivable en (a,b). F(a)=f(b). ↔ Ξ t &épsilon; (a,b) / f´(t)=0.
2.- f es una función continua en |b,c|. F es derivable en (b,c). F(b)=f(c) ↔ Ξ μ &épsilon; (a,b) / f´(μ)=0.
Finalmente tenemos que la función derivada tiene dos raíces, una en cada intervalo, el que coincide con el hecho de que cuando calculamos las raíces, hallamos una única raíz de f´(x), por lo tanto, la función no puede tener 3 raíces.