Fundamentos del Contraste de Hipótesis: Errores, Potencia y Comparación de Parámetros Estadísticos

Errores Fundamentales en el Contraste de Hipótesis

Error Tipo I (α)

El Error Tipo I se define como el error que se comete al rechazar la hipótesis nula (H₀) cuando esta es cierta.

$$\alpha = P(\text{Rechazar } H_0 \mid H_0 \text{ cierta})$$

Error Tipo II (β)

El Error Tipo II se define como el error que se comete al no rechazar la hipótesis nula (H₀) cuando esta es falsa.

$$\beta = P(\text{No se rechaza } H_0 \mid H_0 \text{ falsa})$$

Control de Errores y Potencia

Cuando establecemos un nivel de significación o de confianza, se está intentando controlar la $P(\alpha)$ (Error Tipo I).

Cuando establecemos una potencia deseada, se está intentando controlar la $P(1-\beta)$ (la probabilidad de rechazar $H_0$ cuando es falsa, es decir, la potencia del contraste).

Contraste de Hipótesis para la Comparación de Parámetros

El contraste de hipótesis también podemos aplicarlo a la comparación de parámetros entre dos grupos:

• Queremos conocer si dos proporciones, medias o varianzas son iguales en dos grupos de individuos.

Comparación de Dos Proporciones

Existen dos métodos principales para conocer si dos proporciones ($p_1$ y $p_2$) son iguales en dos grupos de individuos:

Método 1: Contraste de Hipótesis Estándar (Basado en la Distribución Normal)

1. Establecimiento de las hipótesis del contraste:

   $$H_0 : p_1 = p_2 \quad \text{o} \quad H_0 : p_1 - p_2 = 0$$

   $$H_1 : p_1 \neq p_2 \quad \text{o} \quad H_1 : p_1 - p_2 \neq 0$$

2. Cálculo del Estadístico de Contraste (EC) o medida de discrepancia.

3. Determinación de la distribución de probabilidad asociada:

   La Distribución Binomial ($B \sim (n, p)$) que, si $n$ es lo suficientemente grande, se aproxima a una Normal Estándar.

4. Determinación de la región crítica de contraste para un nivel de significación determinado.

Método 2: Mediante la Prueba del Chi-cuadrado (χ²)

Este método también se utiliza para conocer si dos proporciones son iguales en dos grupos de individuos.

1. Establecimiento de las hipótesis del contraste:

   $$H_0 : p_1 = p_2 \quad \text{o} \quad H_0 : p_1 - p_2 = 0$$

   $$H_1 : p_1 \neq p_2 \quad \text{o} \quad H_1 : p_1 - p_2 \neq 0$$

2. Recálculo de los datos bajo la premisa de que H₀ es cierta (cálculo de frecuencias esperadas).

3. Cálculo del Estadístico de Contraste (EC) o medida de discrepancia.

4. Determinación de la distribución de probabilidad asociada:

   La Distribución de probabilidad Chi-cuadrado (χ²), con $(n_{\text{filas}}-1) \times (n_{\text{columnas}}-1)$ grados de libertad.

5. Determinación de la región crítica de contraste para un nivel de significación determinado.

Comparación de Dos Varianzas

Procedimiento para conocer si dos varianzas ($\sigma_1^2$ y $\sigma_2^2$) son iguales en dos grupos de individuos (generalmente utilizando la distribución F de Snedecor):

1. Definición del contraste de hipótesis.

2. Cálculo del Estadístico de Contraste (EC).

3. Determinación del tipo de distribución de probabilidad que sigue la variable (Distribución F).

4. Determinación del nivel de significación ($\alpha$).

5. Determinación de la región de aceptación:

   Según las tablas específicas para esa distribución, se determina la región de aceptación.

6. Toma de decisión:

   Según donde se sitúa el EC calculado, se acepta o no que las varianzas sean iguales.