Fundamentos del Contraste de Hipótesis Estadística: Errores y Potencia

Conceptos Fundamentales en Contraste de Hipótesis

Hipótesis Estadística

Una hipótesis estadística es una afirmación que se hace sobre alguna característica o parámetro de una población con el objetivo de realizar un estudio. Puede rechazarse o aceptarse según la información que nos facilite una muestra aleatoria (m.a.). Tanto la hipótesis nula (H₀) como la hipótesis alternativa (H₁) pueden ser:

• Simples: Si el parámetro investigado solo tiene un valor específico.
• Compuestas: Si el parámetro toma más de un valor posible.

Nivel de Significancia y Errores

El nivel de significancia (α) es el nivel de error de Tipo I que estamos dispuestos a soportar, es decir, la probabilidad de cometer este error, expresada generalmente en términos de porcentaje. Se define como:

• Error de Tipo I (α): La probabilidad de rechazar la hipótesis nula (H₀) cuando esta es verdadera. Matemáticamente: α = P(rechazar H₀ | H₀ es cierta).
• Error de Tipo II (β): La probabilidad de aceptar la hipótesis nula (H₀) cuando la hipótesis alternativa (H₁) es verdadera. Matemáticamente: β = P(aceptar H₀ | H₁ es cierta).

La potencia de un contraste es la probabilidad de rechazar correctamente la hipótesis nula cuando esta es falsa. Se calcula como:

• Potencia del Contraste: P(rechazar H₀ | H₀ es falsa) = 1 - β.

Conceptos Relacionados

• Estadístico: Cualquier valor numérico que se obtiene a partir de una muestra.
• Región de Aceptación: Es el intervalo de valores posibles del estadístico de prueba que señala la aceptación de la hipótesis nula.
• Región Crítica: Es la zona de la curva de la distribución en la que se rechaza la hipótesis nula y en la que está contenido el error de Tipo I.
• Nivel de Confianza: Un valor teórico de la probabilidad de que un determinado intervalo de confianza abarque el verdadero parámetro de la población.
• Inferencia Estadística: Es un proceso a través del cual podemos extraer una serie de conclusiones sobre la población a partir de una muestra dada.

Teoremas y Métodos de Contraste

Región Crítica Óptima: Teorema de Neyman-Pearson

El Teorema de Neyman-Pearson es fundamental para buscar una región crítica óptima y asegurar que sea lo más fiable posible. Para su aplicación, deben cumplirse las siguientes condiciones:

1. Las hipótesis H₁ y H₀ deben ser simples.
2. Se necesita una muestra de tamaño n.
3. Se debe fijar el nivel de significancia (α), que representa el tamaño del error de Tipo I.
4. Se definen las funciones de máxima verosimilitud:
   • L₀: Función de máxima verosimilitud bajo el cumplimiento de H₀.
   • L₁: Función de máxima verosimilitud bajo el cumplimiento de H₁.
5. La relación entre estas funciones debe ser L₀ / L₁ ≤ k, donde k es una constante positiva.

Relación entre Errores de Tipo I y II

1. El error de Tipo II (β) no es el complementario de α. El complementario de α es 1 - α (el nivel de confianza).
2. Aunque α y β no son independientes entre sí para un tamaño de muestra (n) fijo, si α disminuye, entonces β aumenta. Por lo tanto, las probabilidades de cometer errores de Tipo I y II están inversamente correlacionadas.
3. Los errores no son independientes del tamaño muestral; dependen del valor del parámetro que se está contrastando y del tamaño de la muestra.

Etapas para Realizar un Contraste de Hipótesis

1. Definir la hipótesis nula (H₀) y la hipótesis alternativa (H₁).
2. Elegir un nivel de significancia (α).
3. Realizar la verificación de la hipótesis (cálculo del estadístico de prueba).
4. Determinar si el valor calculado para el estadístico de prueba permite rechazar o aceptar la hipótesis nula.

Otros Conceptos y Tests

• Región Uniformemente Más Potente (RUMP): Es una extensión de la Región Crítica Óptima (RCO) obtenida por Neyman-Pearson, pero que sirve para cualquier valor del parámetro alternativo, siempre que se encuentre en el mismo lado (unilateral).
• Test de la Razón de Verosimilitudes: Se utiliza cuando no se puede aplicar directamente el Teorema de Neyman-Pearson, especialmente cuando las hipótesis H₀ y H₁ son compuestas. Sus características incluyen:
  • Es un procedimiento general.
  • Coincide con el test de Neyman-Pearson en el caso de hipótesis simples.
  • No siempre garantiza la obtención del test óptimo.
  • Presenta buenas propiedades en muestras grandes (asintóticas).
  • Se basa en el cociente de las razones de verosimilitud.
  • Para muestras grandes (por ejemplo, n ≥ 30), su distribución asintótica es conocida.