Fundamentos Didácticos y Conceptualización de los Números Racionales y Fracciones

Definiciones Fundamentales

Número Racional

Es una clase de equivalencias (ej. ½ = 2/4) donde todas las fracciones son equivalentes. Representa la relación que expresa este conjunto de fracciones equivalentes.

Decimal

Es un número racional representado por una fracción cuyo denominador es una potencia de 10.

Reflexiones Didácticas sobre la Enseñanza de las Fracciones

El desarrollo de los ordenadores y su facilidad de uso están modificando muchos aspectos de la enseñanza. La mayoría de las calculadoras presentan notación decimal, lo que implica un menor uso de las fracciones en situaciones prácticas.

• El entendimiento conceptual de las fracciones es bastante bajo entre los alumnos, y se cometen errores comunes.
• En la vida cotidiana, la necesidad de manejar fracciones se reduce a medios, tercios y cuartos.
• La resta de fracciones es necesaria, pero la división apenas se presenta en contextos prácticos.

Importancia del Estudio de los Números Racionales

El estudio de los números racionales es fundamental por varias razones:

1. Con los números enteros, la división no siempre es posible.
2. Ayudan a resolver el problema de la medida.
3. Están relacionados con diversos campos de la enseñanza de las matemáticas.
4. Las fracciones positivas están presentes en el lenguaje cotidiano:
   • Sistema métrico: 1/2 metro.
   • Periodos temporales: 1/2 hora.
   • Situaciones de contrato, convenio o reparto.
5. Poseen un gran potencial histórico.

Estrategias Pedagógicas

Es crucial presentar a los alumnos un conocimiento intuitivo de las fracciones, utilizando contextos significativos tanto para el concepto como para sus aplicaciones, y buscando conexiones entre decimales y porcentajes. Deben realizarse procesos algorítmicos, pero presentándolos como solución a problemas que pueden plantearse, y no como simples reglas que hay que aprender. Debemos conseguir que nuestros estudiantes logren una comprensión amplia y operativa del concepto de fracción.

Los Contextos de la Fracción según T.E. Kieren

T.E. Kieren identificó contextos que hacen más significativa la noción de fracción:

1. Relación Parte-Todo: Indica la relación que existe entre un todo que se ha dividido en partes iguales y un número de partes seleccionadas.
2. Fracción como Cociente: Puede utilizarse como cociente en situaciones de reparto.
3. Como Método de Comparación o como Tasa o Razón: Se utiliza para comparar los tamaños de dos conjuntos o medidas (Ejemplo: Por cada español hay 30 chinos).
4. Fracciones como Operador: Se utiliza para calcular partes o fracciones de algo dado.

Relación Parte-Todo y la Medida

Se considera el todo como la unidad, que se divide en partes iguales, y se toman algunas de estas partes. La fracción representa la relación entre el número de partes seleccionadas y el número total. Podemos representar esta interpretación en diferentes contextos:

• Contextos continuos.
• Contextos discretos.
• Mediante la utilización de la recta numérica.

7 Criterios de Piaget para la División de la Unidad

Para que un estudiante comprenda la división de la unidad, deben cumplirse los siguientes criterios:

1. Una región es considerada divisible.
2. El todo puede ser dividido en el número de partes que se pida.
3. Las partes han de agotar el todo.
4. El número de partes que se obtienen no es necesariamente igual al número de cortes que se hacen en la región.
5. Todas las partes tienen el mismo tamaño, aunque no lo parezca.
6. Las partes pueden ser consideradas como nuevos todos.
7. El total se conserva aun cuando sea dividido en partes.

Representaciones del Concepto de Fracción

Para comprender el concepto en su totalidad, es preciso manejar las diferentes representaciones y realizar traslaciones entre ellas. Es conveniente:

• Relacionar la presentación con situaciones de la vida diaria: compras, calendario.
• Ayudar a los estudiantes con modelos manipulativos concretos: objetos y materiales didácticos.
• Utilizar gráficos o diagramas.
• Utilizar expresiones verbales adecuadas y completar las representaciones con símbolos (ej. flechas).
• Seguir el esquema: manipulación, representación gráfica y simbólica.

Noción de Fracciones Equivalentes

El trabajo con fracciones equivalentes permite:

• Comparar tamaños de fracciones o decimales distintos.
• Convertir las fracciones en decimales y porcentajes.
• Encontrar la fracción irreducible que representa al número racional.
• Realizar operaciones con fracciones.
• Trabajar razones y proporcionalidad.