Fundamentos Didácticos de las Matemáticas: Competencias, Conteo y Estrategias de Cálculo

Competencias Matemáticas y Resolución de Problemas

Sentidos Matemáticos y Competencias Específicas (SSBB y CCEE)

El desarrollo matemático se articula en torno a 6 Sentidos Matemáticos:

• Sentido Numérico
• Sentido de la Medida
• Sentido Espacial
• Sentido Algebraico y Pensamiento Computacional
• Sentido Estocástico
• Sentido Socioafectivo

Estos se complementan con 5 Ejes de Competencias Específicas (CCEE):

1. Resolución de problemas
2. Razonamiento y prueba
3. Conexiones
4. Comunicación y representación
5. Destrezas socioemocionales

Modelización y Fases del Proceso Cíclico (P. CICL.)

La modelización matemática sigue un proceso cíclico estructurado en siete fases:

1. F.1 Comprender el problema: Entender lo que dice el enunciado.
2. F.2 Simplificar y Estructurar: Representar con letras o dibujos.
3. F.3 Matematizar: Crear el modelo matemático.
4. F.4 Trabajar la Matemática: Resolver el sistema.
5. F.5 Interpretar: Decir el resultado.
6. F.6 Validar: Comprobar que los datos encajan.
7. F.7 Representar: Comunicar la solución.

Fases de Resolución de Problemas según PISA

El marco PISA establece cuatro etapas clave en la resolución de problemas:

1. Explorar y Comprender: Primer contacto con el problema, leerlo, comprender qué se pide y detectar datos importantes.
2. Representar y Formular: Traducir la situación real a un modelo matemático usando operaciones, ecuaciones, etc.
3. Planificar y Ejecutar: Organizar los pasos que se van a seguir para resolver el problema y llevarlos a cabo.
4. Controlar y Reflexionar: Verificar que los resultados tengan sentido, comprobar que los pasos son correctos y reflexionar sobre posibles errores.

Técnicas de Recuento y Desarrollo del Sentido Numérico

Tipos de Técnicas de Recuento

Las técnicas de recuento se utilizan para obtener un cardinal:

• Técnica ordinal.
• Técnica de construcción de un conjunto de cardinal dado.
• Técnica de colocación de un elemento de orden dado.
• Técnica de recuento abreviado.
• Técnica de agrupación decimal.

Técnicas Auxiliares de Conteo

Estrategias prácticas para facilitar el proceso de conteo:

• Diseñar físicamente un camino.
• Separar manualmente lo contado de lo no contado.
• Marcar los elementos contados.
• Partir el conjunto en partes disjuntas.
• Sustituir el conjunto a contar por otro de igual cardinal.

Principios Fundamentales del Conteo

El dominio del conteo se basa en la comprensión de los siguientes principios:

• Estabilidad (orden fijo de la secuencia numérica).
• Correspondencia uno a uno (asignar un número a cada objeto).
• Irrelevancia del orden (el resultado es el mismo independientemente del orden en que se cuenten los objetos).
• Cardinalidad (el último número nombrado representa el total del conjunto).

Niveles de Desarrollo del Conteo

1. Nivel 1º Cuerda: Recitado global (ej. “unodostres…”).
2. Nivel 2º Cadena Irrompible: Diferentes palabras número, pero solo cuentan desde el 1.
3. Nivel 3º Cadena Rompible: El niño es capaz de contar empezando distinto de 1.
4. Nivel 4º Cadena Rompible Bidireccional: Igual que el anterior, pero hacia adelante y hacia atrás.
5. Nivel 5º Cadena Numerable: Empezar a contar, por ejemplo, 5 números a partir del 14.
6. Nivel 6º Cadena Numerable Bidireccional: Igual que el anterior, pero hacia adelante y hacia atrás.

Errores Comunes en el Conteo

• Errores de Recitado: Se saltan números o utilizan un orden diferente. No tienen el principio de Estabilidad.
• Errores de Coordinación: Fallo en la sincronización entre decir la palabra y señalar el objeto.
• Errores de Partición: No distinguen lo contado de lo no contado.

Secuencia Didáctica (S.D.) del Conteo

1. Recitado.
2. Cardinalidad/Ordinalidad del recuento.
3. Cardinalidad sin recitado.
4. Ordenación.

Nota: Para contar objetos de 10 en 10 no es necesario conocer el cero.

Estrategias y Algoritmos de Operaciones Aritméticas

Técnicas de Adición (Suma)

• Conteo de todos los elementos.
• Recitado del primer sumando y conteo del segundo sumando.
• Recitado del sumando mayor y conteo del sumando menor.
• Conteo a partir del sumando mayor.

Técnicas de Sustracción (Resta)

• Conteo de lo que queda.
• Conteo hacia atrás.
• Conteo de la diferencia.
• Conteo desde el sustraendo al minuendo.
• Conteo hacia atrás desde el minuendo al sustraendo.
• Conteo por ensayo.

Errores Comunes en las Técnicas Orales de Cálculo

• Conmutación de términos (ej. 9 + 26 = 26 + 9).
• Omisión de ceros finales.
• Descomposición de términos (ej. 66 + 28 = 66 + 24 + 4 = 90 + 4).
• Compensación de términos (ej. 66 + 28 = 70 + 24 = 94).
• Conversión de la resta en una suma (ej. 90 - 37 = 37 + 3, 40 al 90 van 50, tres y 50, 53).

Estrategias de Cálculo Mental

• Buscar los dobles.
• Completar a diez o a cinco.
• Sumar en vez de restar.

Algoritmos de Sustracción

Algoritmo Anglosajón

La 'llevada' actúa sobre el minuendo en lugar del sustraendo. En lugar de añadir 1 unidad al sustraendo, se le quita al minuendo.

Algoritmo Tradicional (con Descomposición)

Cuando en una columna la cifra del minuendo es menor que la cifra del sustraendo, se añaden 10 unidades a la cifra del minuendo y se añade 1 unidad a la cifra del sustraendo de la columna siguiente, que corresponde con la unidad de orden inmediato superior.

Técnica de Compensación

Añadir ceros a la izquierda del sustraendo para igualar las dos filas del algoritmo. Esto ayuda a que los alumnos visualicen que allí existe un número y no olviden columnas al restar. Se debe prestar atención a los ceros intermedios.

• El algoritmo Anglosajón permite adaptar la resta.
• El algoritmo Tradicional no lo permite.

Secuencia Didáctica (S.D.) de la Adición

• Aditivas Concretas: Resolución de problemas aritméticos.
• Aditivas Formales: Tareas de cálculo para memorizar tablas y adquirir técnicas de cálculo oral y después escritas.

Grados de Contextualización (Gº Ctxo)

Clasificación de las situaciones de aprendizaje según su proximidad a la realidad del alumno:

1. Situaciones sobre material presente en el aula y el niño como actor.
2. Situaciones hipotéticas contextualizadas familiares al niño con material presente.
3. Situaciones hipotéticas contextualizadas familiares sin material presente en el aula.
4. Situaciones hipotéticas contextualizadas NO familiares.

Tipos de Problemas

Problemas Estructurados (EST.)

Conocido, habitual, definido, memorizado, reproductivo.

Ejemplo: “Juan tiene 5 lápices y compra 3 más. ¿Cuántos tiene en total?”

Problemas No Estructurados (NO EST.)

Nuevo, incierto, no definido, flexible, creativo, analítico.

Ejemplo: “Con 12 lápices quiero hacer grupos con la misma cantidad en cada uno. ¿Cuántas formas distintas hay de agruparlos?”