Fundamentos Didácticos y Matemáticos: Fracciones, Conteo y Conceptos Clave

Conceptos Didácticos Fundamentales

Contrato didáctico

Se determina implícita y, en parte, explícitamente lo que deben hacer el docente y el alumnado.

Situación problema

Situación de enseñanza cuyo objetivo es permitir a los alumnos adquirir un conocimiento nuevo, apoyándose en una concepción socioconstructivista del aprendizaje.

Transposición didáctica

Conjunto de transformaciones que sufre un saber para poder ser enseñado.

Variable didáctica

La elección de la gestión de la clase puede considerarse una variable didáctica, ya que sus efectos pueden ser distintos según cómo se administre.

Campo conceptual

Implica esquemas, conceptos y teoremas en conexión, así como representaciones lingüísticas y simbólicas.

Noosfera

Sistema social de enseñanza que selecciona los saberes de interés para los alumnos.

La Fracción y sus Contextos de Interpretación

Contexto 1: La Fracción como Relación Parte-Todo

Esta relación se presenta cuando un todo (continuo o discreto) se divide en partes congruentes.

• La fracción indica la relación que existe entre un número de partes y el número total de las partes.
• El todo recibe el nombre de "unidad".
• Esta relación depende de la habilidad de dividir un objeto en partes iguales.

Habilidades a destacar:

• Tener interiorizada la noción de inclusión jerárquica (según Piaget).
• Saber identificar la unidad (qué TODO es el que se considera).
• La realización de divisiones iguales (el TODO se sigue conservando aun cuando lo dividamos en trozos).
• Manejar la idea de área (para el caso de representaciones continuas).

Contexto 2: La Fracción como Cociente

En esta interpretación, la fracción se asocia a la operación de dividir un número natural por otro: $a:b = a / b$.

Comparación de interpretaciones (3/5):

• Parte-Todo: Dividir una unidad en 5 partes y tomar 3.
• Cociente: Dividir 3 unidades u objetos entre 5 personas.

Tendencias en las fracciones como cociente:

• Ver la fracción 3/5 como una división indicada, relacionándola con 0,6.
• Considerar las fracciones (números racionales, Q) como elementos de una estructura algebraica de cuerpo conmutativo (definiendo relación de equivalencia, conjunto cociente, etc.).

Contexto 3: La Fracción como Razón

Las fracciones son usadas como índice comparativo entre dos cantidades de una magnitud (comparación de situaciones).

• En este caso, no existe de forma natural una unidad (TODO).
• La comparación puede ser bidireccional.

Contexto 4: La Fracción como Operador

Bajo esta interpretación, las fracciones son vistas en el papel de transformaciones: “Algo actúa sobre una situación inicial (estado inicial) y lo modifica (estado final)”.

Principios Fundamentales del Conteo

1. El Principio de Correspondencia Uno a Uno

Consiste en asignar a cada elemento de una colección una sola palabra numérica, y a cada palabra numérica hacerle corresponder un solo elemento.

Coordinación de dos procesos:

1. Partición: Mantiene dos categorías de elementos u objetos: los que ya han sido contados y los que aún tienen que ser contados. Los objetos pasan de una categoría a otra por separación física o por señalamiento (externamente o interiorizando el acto de señalar).
2. Etiquetación: Supone disponer de una serie de etiquetas, de modo que cada una de ellas corresponda con un objeto del conjunto contado. No importa, para este principio, si las etiquetas están, o no, repetidas dentro de la secuencia, o si se utiliza siempre en el mismo orden.

Procedimiento:

Hay que señalar una sola vez cada elemento y, al mismo tiempo que esto se hace, asignarle una única etiqueta.

Errores (Según Gelman y Gallistel):

Una primera clasificación de errores al acometer este principio podría ser:

• Omisión de elementos.
• Repetición de elementos.
• Regresión, en el conteo, hacia algún elemento que ya ha sido contado.
• Dar por finalizado el conteo antes de haber tenido en cuenta todos los elementos de la colección.
• Seguir con el proceso de etiquetación cuando ya no quedan elementos que contar.
• Errores de asincronía (falta de coincidencia entre el elemento y la etiqueta).

Otros Principios del Conteo

2. El Principio del Orden Estable.
3. El Principio de Cardinalidad.
4. El Principio de Abstracción.
5. El Principio de la Irrelevancia del Orden.