Fundamentos de la Dinámica de la Partícula: Teoremas Clave de Momento Lineal, Angular y Energía

En el estudio de la física, a menudo nos encontramos con situaciones donde las condiciones generales de una partícula no son completamente conocidas, lo que impide disponer de información suficiente para realizar la integración directa de la ecuación del movimiento. Para abordar esta limitación, deduciremos, a partir de la segunda ley de Newton, una serie de teoremas generales. Estos teoremas describen la evolución temporal de nuevas magnitudes físicas que proporcionan un conocimiento parcial, pero fundamental, del estado dinámico de la partícula.

1. Teorema del Momento Lineal

El momento lineal (o cantidad de movimiento) de una partícula se define como el producto de su masa por su velocidad. Se representa con la letra p:

p = m * v

De acuerdo con la segunda ley de Newton, la fuerza neta aplicada sobre una partícula es igual a la tasa de cambio de su momento lineal con respecto al tiempo. Esta es la forma diferencial del teorema del momento lineal:

F = m * a = dp/dt

Esta expresión establece que "el cambio con respecto al tiempo del momento lineal de una partícula es igual a la resultante de las fuerzas aplicadas sobre ella". En su forma integral, se relaciona con el impulso lineal (I):

Δp = I

Un principio fundamental derivado de este teorema es la conservación del momento lineal: cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es nula, su momento lineal se mantiene constante.

Si F = 0, entonces p = cte.

2. Teorema del Momento Angular

El momento angular (o momento cinético) de una partícula, respecto a un punto de origen O, se define como el producto vectorial de su vector de posición (r) por su momento lineal (p):

L = r x p

Por lo tanto, L será un vector perpendicular al plano formado por r y p. Es crucial entender que, dado que el vector de posición r depende del punto O elegido, el momento angular de una partícula también dependerá de este punto de referencia.

Relacionado con el momento angular, el momento de una fuerza (o torque) M, respecto al mismo origen O, se define como:

M = r x F

El momento M es perpendicular a los vectores r y F, y su valor también depende del origen elegido. Es imprescindible que tanto el momento angular (L) como el momento de la fuerza (M) sean calculados respecto al mismo punto O para que el teorema sea válido.

El teorema del momento angular establece que la tasa de cambio del momento angular de una partícula es igual al momento de la fuerza neta aplicada sobre ella. Un caso particular importante es la conservación del momento angular: si el momento de la fuerza neta es nulo, el momento angular se conserva.

Si M = 0, entonces L = cte.

3. Teorema de la Energía Cinética

El trabajo total (W) efectuado por una fuerza F en un desplazamiento finito entre dos puntos (1 y 2) a lo largo de una trayectoria (C) se define como la suma de todos los trabajos infinitesimales realizados por dicha fuerza. Es importante destacar que el trabajo de la fuerza F dependerá, en general, de la trayectoria seguida por la partícula entre ambos puntos.

Por otra parte, la potencia instantánea (P) desarrollada por una fuerza F se define como el trabajo que realiza por unidad de tiempo. Su expresión es:

P = F · v

Su unidad en el Sistema Internacional (SI) es el vatio (W).

Finalmente, la energía cinética (E_c) de una partícula se define como la mitad del producto de su masa por el cuadrado de su velocidad:

E_c = ½ * m * v^2

El teorema de la energía cinética establece que el cambio en la energía cinética de una partícula es igual al trabajo total realizado sobre ella:

ΔE_c = W

De este teorema se desprende el principio de conservación de la energía cinética: si el trabajo total realizado sobre la partícula es nulo, su energía cinética se mantiene constante.

Si W = 0, entonces E_c = cte.