Fundamentos de la Dinámica de Partículas: Momento Lineal, Angular y Energía en Colisiones

Dinámica de un Sistema de Partículas: Teoremas Fundamentales y Colisiones

La dinámica de un sistema de partículas es un campo fundamental de la física que describe el movimiento de conjuntos de cuerpos y las interacciones entre ellos. Comprender los teoremas del momento lineal, momento angular y energía es crucial para analizar cómo estos sistemas evolucionan bajo la influencia de fuerzas internas y externas. A continuación, exploraremos estos principios esenciales y su aplicación en el estudio de las colisiones.

Teorema del Momento Lineal de un Sistema de Partículas

Si consideramos un sistema compuesto por dos partículas sometidas únicamente a su interacción mutua, aplicando la 2.ª Ley de Newton a cada partícula, tenemos:

• F₂₁ = dp₁/dt
• F₁₂ = dp₂/dt

Cada partícula no anula su propio momento lineal, pero como las fuerzas que se ejercen mutuamente satisfacen la 3.ª Ley de Newton (F₂₁ = -F₁₂), al sumar ambas ecuaciones obtenemos que: p₁(t) + p₂(t) = cte. Si definimos el momento lineal total del sistema P como P = p₁ + p₂, este permanecerá constante.

Si sobre las partículas actúan fuerzas externas, el momento lineal de cada partícula cambiará; es decir, ahora el momento lineal total del sistema no será constante en general. Se establece el Teorema de la Conservación del Momento Lineal, que indica que si la resultante de las fuerzas externas es nula, el momento lineal total permanece constante:

F_ext = 0 ⇒ P = cte.

Teorema del Momento Angular

El momento angular total del sistema de partículas respecto al origen O de un sistema de referencia inercial (L) se define como la suma vectorial de los momentos angulares de todas las partículas del sistema respecto a ese punto. De manera similar, el momento total de las fuerzas externas respecto al origen de un sistema de referencia inercial (M_ext) es la suma vectorial de los momentos respecto a ese punto de las fuerzas externas sobre todas las partículas del sistema.

El Teorema del Momento Angular de un Sistema de Partículas establece que:

M = dL/dt

De este teorema se deriva el Teorema de la Conservación del Momento Angular: si el momento total de las fuerzas externas es nulo, el momento angular total permanece constante:

M_ext = 0 ⇒ L = cte.

Teorema de la Energía de un Sistema de Partículas

Para un sistema de partículas, podemos definir los siguientes conceptos:

• La energía cinética total del sistema (E_c) como la suma de las energías cinéticas de todas las partículas del sistema.
• El trabajo total de las fuerzas internas (W_int) como la suma de los trabajos realizados por las fuerzas internas sobre todas las partículas del sistema.
• El trabajo total de las fuerzas externas (W_ext) como la suma de los trabajos realizados por las fuerzas externas sobre todas las partículas del sistema.

Entonces, se puede demostrar el Teorema de la Energía de un Sistema de Partículas:

W_ext + W_int = ΔE_c

A diferencia de lo que sucede con los momentos lineal y angular, tanto las fuerzas externas como las internas contribuyen a modificar la energía cinética total del sistema.

Colisiones

Cuando dos partículas se aproximan entre sí, su interacción mutua altera su movimiento, produciendo un intercambio de momento y energía. Se dice entonces que se ha producido una colisión. Que se produzca una colisión no implica que las partículas entren en contacto físico. Significa, en general, que ha ocurrido una interacción cuando estaban muy próximas, dando lugar a un cambio medible en sus movimientos en un intervalo de tiempo relativamente corto.

Durante la colisión, el sistema puede considerarse aislado (F_ext = 0). Por lo tanto, el momento lineal total del sistema será el mismo inmediatamente antes y después de la colisión:

p₁ + p₂ = p₁' + p₂'

En cuanto a la energía, durante la colisión el trabajo realizado por las fuerzas externas es nulo (W_ext = 0), entonces:

W_int = ΔE_c

Si la energía cinética del sistema antes y después del choque es la misma, se dice que el choque es elástico, y en este caso las fuerzas internas no realizan trabajo. Por el contrario, si la energía cinética total varía en el choque, la colisión es inelástica. En particular, si las partículas quedan unidas, se dice que el choque es totalmente inelástico o plástico.

La variación de la energía se suele medir por Q, que representa la diferencia:

Q = ΔE_c = E_c' - E_c

• Colisión elástica: Q = 0
• Colisión inelástica: Q ≠ 0

Existe otra ecuación que relaciona las velocidades relativas antes y después de la colisión:

(v₂' - v₁') = -e(v₂ - v₁)

La constante e se denomina coeficiente de restitución y toma valores entre 0 y 1.

• Colisión elástica: e = 1
• Colisión inelástica: e ≠ 1
• Colisión plástica (totalmente inelástica): e = 0