Fundamentos de la Dinámica Rotacional y Campos Vectoriales en Física

Dinámica Rotacional y Conservación del Momento

Momento Angular (Respecto a un Punto Fijo O)

El momento angular $\vec{L}_O$ de una partícula de masa $m$, posición $\vec{r}$ y velocidad $\vec{v}$ respecto a un punto $O$ se define como:

$$\vec{L}_O = \vec{r} \times m\vec{v}$$

Es una magnitud vectorial que representa la tendencia de una partícula a rotar respecto a un punto.

Teorema de Conservación del Momento Angular

El momento angular total de un sistema permanece constante si la suma de los momentos de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema es nula.

La relación fundamental es:

$$\frac{d\vec{L}_O}{dt} = \vec{M}_O^{\text{ext}}$$

Si el momento externo neto es cero ($\vec{M}_O^{\text{ext}} = 0$), entonces el momento angular total es constante ($\vec{L}_O = \text{cte}$).

Explosiones y Proyectiles

En un sistema donde ocurre una explosión, se cumplen dos principios fundamentales:

Trayectoria del Centro de Masas (CM)

La explosión no altera la trayectoria del centro de masas del sistema (todos los fragmentos), porque las fuerzas internas (de la explosión) no afectan el movimiento del CM. Solo las fuerzas externas influyen, que en este caso es el peso total (gravedad):

$$\vec{F}^{\text{ext}} = M\vec{g}$$

Conservación del Momento Lineal

El momento lineal total del sistema se conserva durante la explosión, ya que las fuerzas internas son mucho mayores que las externas (no hay fuerzas externas impulsivas significativas).

Campos Vectoriales y Fuerzas

Rotacional de un Campo Vectorial ($\nabla \times \vec{F}$)

Es un operador vectorial que mide la tendencia de un campo a generar rotaciones o circulación alrededor de un punto.

$$\nabla \times \vec{F}$$

Relación con Campos Conservativos

• Si el rotacional es nulo ($\nabla \times \vec{F} = 0$), el campo no induce rotaciones locales.
• Un campo vectorial $\vec{F}$ es conservativo si proviene de un potencial escalar $U$: $$\vec{F} = -\nabla U$$
• En ese caso, su rotacional es nulo: $$\nabla \times \vec{F} = 0$$

Fuerzas Conservativas

Son aquellas fuerzas cuyas características principales son:

• El trabajo realizado por la fuerza no depende del camino recorrido, solo del punto inicial y final.
• Se puede asociar una energía potencial $U$.
• Ejemplos: La fuerza de gravedad, la fuerza elástica.

Fuerzas No Conservativas

Son aquellas fuerzas cuyas características principales son:

• El trabajo realizado sí depende del camino recorrido.
• No se puede definir un potencial asociado.
• Ejemplos: Rozamiento, fuerzas disipativas.

Condición de Conservación de la Energía Mecánica

Si solo actúan fuerzas conservativas, la variación de la energía cinética es igual a la negativa de la variación de la energía potencial:

$$\Delta E_c = -\Delta U$$

Esto implica que el trabajo total realizado es nulo, y la energía mecánica ($E_m = E_c + U$) se conserva:

$$W_{\text{total}} = \Delta E_c + \Delta U = 0$$

Es decir: la energía mecánica se conserva si y solo si solo hay fuerzas conservativas actuando.

Conceptos de Sólido Rígido

Radio de Giro ($R_g$) de un Sólido Rígido

El radio de giro $R_g$ de un sólido rígido respecto a un eje es una longitud que representa la distancia a la que se puede concentrar toda la masa del cuerpo para que tenga el mismo momento de inercia ($I$) que el cuerpo original.

Se define a partir del momento de inercia $I$ y la masa $m$ como:

$$R_g = \sqrt{\frac{I}{m}}$$