Fundamentos de la Dinámica Rotacional: Energía Cinética, Torque y Movimiento de Cuerpos Rígidos

Energía Cinética de Rotación

Si un cuerpo de masa m se desplaza con una determinada velocidad, la energía asociada al movimiento, conocida como energía cinética K, se define como:

[Fórmula de Energía Cinética Traslacional: K = ½mv²]

Cuando se trata de un movimiento de rotación, la velocidad de cada elemento de masa mᵢ del cuerpo tendrá una magnitud dada por:

[Fórmula de Velocidad Tangencial: vᵢ = rᵢω]

donde rᵢ es la distancia al eje de giro y ω (omega) se denomina la magnitud de la velocidad angular del cuerpo.

La energía cinética total del cuerpo en rotación será la suma de las energías cinéticas de sus partes, es decir:

[Fórmula de Suma de Energías Cinéticas: K = Σ(½mᵢvᵢ²)]

Sustituyendo la expresión de la velocidad tangencial, obtenemos:

[Fórmula de Energía Cinética Rotacional en términos de ω: K = ½(Σmᵢrᵢ²)ω²]

El término:

[Fórmula de Momento de Inercia: I = Σmᵢrᵢ²]

se define como el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de rotación. De esta manera, la energía cinética de un cuerpo que rota respecto a un eje fijo es:

[Fórmula Final de Energía Cinética Rotacional: K = ½Iω²]

Torque y Momento Angular

Para una partícula de un cuerpo rígido con movimiento de rotación alrededor de un eje fijo, las fuerzas que pueden causar aceleración angular, es decir, que la componente tangencial de la velocidad de la partícula varíe, deben tener componentes en esa dirección. Sin embargo, las fuerzas que actúan sobre las partículas de un cuerpo rígido son principalmente fuerzas internas.

¿Cómo influyen las fuerzas aplicadas (exteriores) en la aceleración angular? Es fácil comprender que las fuerzas aplicadas cuyas líneas de acción pasen por el eje de rotación no influyen. Solo influyen las fuerzas aplicadas que, en su punto de aplicación, poseen componentes tangenciales a la trayectoria de las partículas, es decir, que producen un torque no nulo respecto al eje de rotación.

Una forma de relacionar estos conceptos es mediante el Teorema del Trabajo y la Energía.

El trabajo realizado por la resultante de las fuerzas externas es igual al cambio de la energía cinética del cuerpo.

Si Fⱼ indica la componente tangencial de una de esas fuerzas externas actuando a una distancia rⱼ, entonces tenemos:

[Fórmula de Trabajo Realizado por una Fuerza Tangencial: dW = Fⱼ ds = Fⱼ (rⱼ dθ)]

Integrando y relacionando con el cambio de energía cinética, se desprende que:

[Relación entre Trabajo y Torque: W = ∫τ dθ]

Esto nos lleva a la ecuación dinámica del movimiento de rotación pura:

[Ecuación Dinámica de Rotación: τ = Iα]

donde α (alfa) se conoce como la aceleración angular del cuerpo y el torque (o momento de fuerza) es:

[Fórmula de Torque: τ = rFsenθ o τ = rFₜ]

Movimiento de un Cuerpo que Rota y se Traslada sin Deslizar

Cuando un cuerpo rígido rota alrededor de un eje que pasa por su centro de masa, y este centro de masa, a su vez, se traslada, el movimiento puede analizarse como una combinación de ambos movimientos. Alternativamente, puede considerarse como si el movimiento fuera únicamente de rotación pura en torno a un eje perpendicular al plano de movimiento, que pasa por el punto de contacto P entre el rígido y la superficie.

Este eje, paralelo al eje que pasa por el centro de masa, se llama eje instantáneo de rotación.

Como el cuerpo no desliza, se puede decir que, para cualquier instante, el punto inferior (punto P) del rígido está en reposo respecto de la superficie de contacto.

[Ilustración o Diagrama de un cuerpo rodando sin deslizar, mostrando el punto P en reposo instantáneo]