Fundamentos y Distribuciones Clave en la Teoría de Probabilidad

Conceptos Fundamentales de Probabilidad

• Probabilidad: Cálculo matemático de las posibilidades que existen de que una cosa se cumpla o suceda al azar.
• Suceso: Un evento o suceso es un subconjunto de un espacio muestral; es decir, un conjunto de posibles resultados que se pueden dar en un experimento aleatorio.
• Fenómeno Aleatorio: Tiene la particularidad de que al ser observado no se puede predecir con exactitud cuál será el resultado observado.
• Variable Aleatoria: Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento del espacio muestral E un número real.
• Función de Distribución: La función de distribución asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese valor.
• Función Densidad o Probabilidad: Probabilidad de que la variable sea igual a un valor.

Distribuciones de Probabilidad

Distribuciones Discretas

Uniforme Discreta U(N)

• Número infinito de valores, con igual probabilidad de ocurrir.
• $a$ = mínimo de los valores
• $b$ = máximo de los valores
• $N$ = número posible de valores
• Función de probabilidad: $f(x) = 1/N$
• Esperanza: $E[X] = $ (No especificado en el original, pero es $(a+b)/2$)

Binomial B(n, p)

• Número de éxitos al repetir $n$ veces un experimento.
• $n$ = número de intentos
• $p$ = probabilidad de éxito
• Esperanza: $E[X] = np$
• Varianza: $VAR[X] = npq$ (donde $q = 1-p$)

Geométrica G(p)

• Número de fracasos antes del primer éxito.
• $p$ = probabilidad de éxito
• Función de probabilidad: $f(x) = (1-p)^x p$
• Esperanza: $E[X] = (1-p)/p = pq / (1-q)^2$
• Varianza: $VAR[X] = (1-p)/p^2$

Binomial Negativa $B_n(r, p)$

• Número de fracasos antes de $r$ éxitos.
• $r$ = número de éxitos deseados (Nota: el texto original indica 'nro fracasos', se corrige a 'éxitos' por convención del modelo $B_n$).
• $p$ = probabilidad de éxito
• Función de probabilidad: $f(x) = \binom{r+x-1}{x} (1-p)^x p^r$ (Se corrige la notación del original para mayor claridad)
• Esperanza: $E[X] = r(1-p)/p$
• Varianza: $VAR[X] = r(1-p)/p^2$

Poisson $P(\lambda)$

• Número de sucesos por unidad de medida (tiempo, longitud). Es una aproximación a la Binomial con $p$ muy pequeña.
• $\lambda$ = número de ocurrencias por unidad de medida. $X$ = Éxito.
• Función de probabilidad: $f(x) = e^{-\lambda} \lambda^x / x!$
• Esperanza: $E[X] = \lambda$
• Varianza: $VAR[X] = \lambda$

Hipergeométrica $H(N; n; A)$

• Número de éxitos al repetir $n$ veces un experimento sin reemplazo, donde la probabilidad varía en cada intento.
• $N$ = población total
• $n$ = tamaño muestra
• $A$ = individuos con la característica buscada
• Probabilidad de éxito en el primer intento: $p = A/N$
• Función de probabilidad: $f(x) = \frac{\binom{A}{x} \binom{N-A}{n-x}}{\binom{N}{n}}$ (Se corrige la notación del original)
• Esperanza: $E[X] = np$
• Varianza: $VAR[X] = npq \frac{N-n}{N-1}$

Distribuciones Continuas

Exponencial $\varepsilon(\lambda)$

• Tiempo entre dos sucesos de Poisson. Tiempo de espera.
• $\lambda$ = parámetro de la Poisson asociada. Tasa de llegada.
• Dominio: $[0, +\infty)$
• Función de densidad: $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ si $x > 0$
• Esperanza: $E[X] = 1/\lambda$
• Varianza: $VAR[X] = 1/\lambda^2$

Normal $N(\mu, \sigma)$

• Describe la medición de la mayoría de los sucesos naturales.
• $\mu$ = media de la variable
• $\sigma$ = desviación típica
• Dominio: $(-\infty, +\infty)$. Se utilizan tablas de distribución.
• Esperanza: $E[X] = \mu$
• Varianza: $VAR[X] = \sigma^2$

Cálculos con la Distribución Normal

Para calcular probabilidades $P(X \le k)$, se utilizan las tablas de la distribución normal estándar (Z).

Propiedades de Simetría y Cálculo:

• $P(X \ge 1) = 1 - P(X \le 1)$
• $P(X \le -2) = P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 2)$
• $P(X \ge -1) = P(X \le 1)$
• $P(x_1 \le X \le x_2) = F(x_2) - F(x_1) = P(X \le x_2) - P(X \le x_1)$

Tipificación (Estandarización)

Se utiliza para aproximar distribuciones discretas (como la Binomial y Poisson) a la Normal, si se cumplen ciertas condiciones.

Condiciones de Aproximación:

• Para Binomial: $n > 10$, $np \ge 5$, $nq \ge 5$.

La variable $X$ se transforma a la variable estandarizada $Z$:

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

Una vez tipificada, se busca la probabilidad $P(Z \le \text{algo})$ en la tabla normal estándar.

Parámetros para la Aproximación Binomial:

• Media: $\mu = np$
• Desviación Típica: $\sigma = \sqrt{npq}$
• Donde $q = 1-p$