Fundamentos do Cálculo Diferencial: Teoremas e Conceptos Clave

Teoremas Fundamentais do Cálculo Diferencial

Teorema de Weierstrass

Se unha función é continua nun intervalo pechado, entón ten un máximo e un mínimo en dito intervalo.

Teorema de Bolzano

Se unha función é continua en [a,b] e toma valores de signo contrario nos extremos, entón existe polo menos un punto c en (a,b) tal que f(c)=0. Xeométricamente, quere dicir que existe un punto no que a gráfica da función corta o eixo OX.

Teorema de Rolle

Se f(x) é continua en [a,b], derivable en (a,b) e f(a)=f(b), entón existe polo menos un punto c en (a,b) tal que f'(c)=0. Xeométricamente, quere dicir que existe un punto c en (a,b) tal que a tanxente á curva pasando por (c,f(c)) é paralela ao eixo OX.

Teorema do Valor Medio do Cálculo Diferencial (Lagrange)

Se a función f(x) é continua en [a,b] e derivable en (a,b), entón existe polo menos un punto c en (a,b) tal que:

f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)

Interpretación xeométrica:

• (f(b)-f(a))/(b-a) é a pendente da recta secante á curva pasando por (a,f(a)) e (b,f(b)).
• f'(c) é a pendente da recta tanxente á curva pasando por (c,f(c)).

O que di o teorema do valor medio é que existe un punto c en (a,b) tal que a tanxente á curva pasando por (c,f(c)) é paralela á recta secante pasando por (a,f(a)) e (b,f(b)).

Taxa de Variación Media (TVM)

A taxa de variación media de f(x) no intervalo [x,x+h] escríbese TVM [x,x+h] e vén dada por:

TVM [x,x+h] = (f(x+h)-f(x))/h

Do mesmo xeito, para o intervalo [a,b], escríbese TVM [a,b] e vén dada por:

TVM [a,b] = (f(b)-f(a))/(b-a)

Ecuación da Recta Tanxente á Curva

A ecuación da recta tanxente á curva y = f(x) no punto (a, f(a)) vén dada por:

y - f(a) = f'(a) * (x - a)

Derivada dunha Función nun Punto e Derivadas Sucesivas

A derivada de f(x) no punto x=a defínese como o seguinte límite, se existe:

f'(a) = lim_h→0 (f(a+h)-f(a))/h

Se este límite existe e é un número real, dise que a función é derivable no punto e a derivada escribirémola como f'(a).

Se f(x) é derivable no seu dominio, é posible definir unha nova función que asigne a cada punto do dominio a derivada nese punto. Esta función chámase función derivada ou simplemente derivada.

Se a función derivada é á súa vez derivable e calculamos a súa derivada, obtemos a derivada segunda, que escribiremos f''(x). Se repetimos este proceso, obtemos as derivadas de orde superior (terceira, cuarta, etc.), que escribiremos como f'''(x), f^(IV)(x), e así sucesivamente.