Fundamentos de Econometría: Modelos de Regresión y Contrastes Estadísticos

Fundamentos del Modelo de Regresión

El modelo económico se define como un modelo de regresión sin término independiente (ut). Para estimar coeficientes (B1), el valor de Pt acompaña al parámetro.

• Cuantitativo: Valor esperado de Y ante un aumento o disminución unitaria de X.
• Cualitativo: Valor esperado de Y cuando la variable cualitativa vale 1.
• Independiente: Valor esperado de Y cuando el resto de las variables constantes son 0.

Estimación por MCO

La matriz X'X se compone de (N, Σx2, Σx3... Σx2, Σx2^2, Σx2x3... Σx3, Σx2x3, Σx3^2) y Y de (ΣY, ΣYx2, ΣYx3).

Varianza y Perturbaciones

La varianza del error se calcula como σ^2 = Σ u^2 / (T-K), donde SCR = ΣY^2 - B'X'Y / (N-K). La matriz (X'X)^-1 se obtiene mediante el cálculo de la determinante y la matriz de adjuntos.

La varianza del estimador es: Var(B) = σ^2 * (X'X)^-1.

Bondad de Ajuste y Correlación

• Bondad de ajuste (R^2): Porcentaje de la variación esperada de Y explicada por el modelo. Se calcula como 1 - (SCR/SCT), donde SCT = ΣY^2 - N * (Y_media)^2. Su valor oscila entre 0 y 1.
• Coeficiente de correlación (rxy): rxy = cov(xy) / (σx * σy).

Contrastes de Hipótesis

• Contraste individual: t = (Bj - B_hipótesis) / √Var(Bj). Se compara con tablas t(T-K, α). Si el estadístico es mayor que el valor de tabla, se rechaza H0.
• Contraste conjunto:
  • Sin restringir: F = (R^2 / (K-1)) / ((1-R^2) / (T-K)).
  • Restringido: F = ((R^2 - R^2r) / q) / ((1-R^2) / (T-K)), donde q = K-1.
• Contraste de restricción: t = (w_estimado - w) / √Var(w), donde w es la restricción (ej. w = B2 + B3).

Propiedades y Diagnóstico del Modelo

• Modelo lineal: Bs constantes, X linealmente independientes, u esférica (N(0, σ^2 I)).
• Propiedades de los Bs: Lineal en Y, lineal en U, varianza mínima e insesgado.
• Ceteris paribus: Variación en el valor estimado de Y cuando X varía en 1 unidad y el resto de las variables permanecen constantes.
• Propiedades FRM: Media de residuos igual a 0; los residuos no están correlacionados con las variables explicativas.
• Método de mínimos cuadrados: Minimizar Σ(modelo)^2.

Diagnóstico de Errores

• Durbin-Watson (Autocorrelación): DW = Σ(ut - ut-1)^2 / Σut^2. Se utilizan los valores críticos dL y dU en tablas.
• Heterocedasticidad (White): Si hay homocedasticidad, ui^2 no dependerá de las X ni de sus combinaciones.

Predicción y Multicolinealidad

• Predicción puntual: Yp = xp' * Bmco.
• Intervalos de predicción: IC(Y) = Y ± t(T-K, α/2) * √[σ^2 * (1 + xp'(X'X)^-1 * xp)]. Si el intervalo es muy grande, la predicción es poco precisa.
• Multicolinealidad: Si rxy es cercano a 1, existe un alto grado de multicolinealidad, lo que provoca que la varianza de los Bs se dispare y las variables pierdan significatividad estadística.