Fundamentos y Ecuaciones del Oscilador Armónico Simple (MAS)

Oscilador Armónico Simple (MAS)

Un Oscilador Armónico Simple (OAS) es un sistema que experimenta un Movimiento Armónico Simple (MAS) debido a la acción de una fuerza recuperadora (o restauradora).

Dinámica del Oscilador Armónico Simple

La dinámica del MAS se rige por la Segunda Ley de Newton y la Ley de Hooke (para la fuerza recuperadora):

• Segunda Ley de Newton: (2ª ley de la dinámica)
• Fuerza Recuperadora (Ley de Hooke):

Igualando ambas expresiones, obtenemos la ecuación diferencial del MAS:

La fuerza es proporcional y opuesta al desplazamiento. La fuerza que produce un MAS es una fuerza central, dirigida hacia el punto de equilibrio y proporcional a la distancia a este.

Ecuaciones de Posición, Velocidad y Aceleración

Ecuación de la Velocidad

Para obtener la ecuación de la velocidad ($v$) del MAS, se debe derivar la ecuación de la posición ($x$), , respecto al tiempo:

También puede expresarse la velocidad en función de la posición, partiendo de que , resultando:

Ecuación de la Aceleración

La ecuación de la aceleración ($a$) se obtiene derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:

Energía en el Oscilador Armónico Simple

Energía Cinética ($E_c$)

La energía cinética de un oscilador armónico simple se define como:

Sustituyendo la expresión de la velocidad, obtenemos:

La energía cinética del oscilador presenta las siguientes características:

• Es una función periódica del tiempo.
• Es proporcional al cuadrado de la amplitud de la oscilación ($A^2$).
• Es proporcional a la constante recuperadora ($K$).

Energía Potencial Elástica ($E_p$)

La energía potencial elástica se calcula a partir del trabajo realizado por la fuerza recuperadora:

Integrando, obtenemos:

Sustituyendo la expresión de la posición ($x$):

Si establecemos el origen de la energía potencial ($E_p$) en la posición de equilibrio ( ), donde la posición es cero ( ), la constante de integración es cero. Por lo tanto:

La energía potencial elástica del oscilador es:

• Una función periódica del tiempo.
• Proporcional al cuadrado de la amplitud de la oscilación ($A^2$).
• Proporcional a la constante recuperadora ($K$).

Energía Mecánica Total ($E_m$)

La energía mecánica total es la suma de la energía cinética y la energía potencial. En un oscilador armónico simple ideal (sin fricción), la energía mecánica se conserva:

Nota: La energía mecánica total es constante y proporcional a $A^2$ y $K$.

Conceptos Relacionados y Tipos de Oscilaciones

Movimiento Armónico Simple (MAS)

Una partícula posee un MAS a lo largo de un eje X cuando su elongación ($x$) o coordenada de posición sobre este eje se expresa mediante una función sinusoidal del tiempo.

Movimiento Oscilatorio Amortiguado

Ocurre si la energía mecánica del movimiento disminuye gradualmente (debido a fuerzas disipativas, como la fricción). Aunque se mantienen las oscilaciones, su amplitud disminuye con el tiempo. La fuerza de amortiguamiento suele ser proporcional a la velocidad: $F = -b v$.

Oscilaciones Forzadas

Son las oscilaciones producidas en un sistema oscilante debido a la energía suministrada continuamente desde el exterior mediante una fuerza impulsora periódica. El sistema se denomina oscilador forzado.

Frecuencia Resonante

Ocurre cuando la frecuencia con la que actúa una fuerza externa coincide con la frecuencia natural del oscilador. En este punto, la energía absorbida por el sistema es máxima y la amplitud de la oscilación aumenta drásticamente. El oscilador entra en resonancia.

Relación entre el MAS y el Movimiento Circular Uniforme (MCU)

El MAS puede considerarse como una proyección de un MCU sobre un diámetro de la misma circunferencia. Esta analogía es fundamental para entender las ecuaciones del MAS.

Concepto	Equivalencia Temporal	Equivalencia Espacial	Periodo ($T$)
MAS	1 oscilación	Amplitud ($A$)
MCU	1 revolución	Radio ($R$)