Fundamentos Esenciales de Álgebra Lineal: Propiedades de Matrices y Transformaciones

Propiedades Fundamentales en Álgebra Lineal

A continuación, se presentan una serie de afirmaciones y propiedades esenciales relativas a matrices, espacios vectoriales y aplicaciones lineales, junto con sus respuestas correctas.

Sección I: Matrices y sus Operaciones

1. Igualdades que no siempre se verifican

   Sean $A$, $B$ y $C$ matrices cuadradas de orden $n$, con coeficientes reales. ¿Cuál de las siguientes igualdades no siempre se verifica?

   Respuesta: $A \times B = A \times C \implies B = C$

   (Nota: Esta implicación solo se cumple si la matriz $A$ es invertible.)

2. Afirmación falsa sobre matrices cuadradas

   Si $A$ y $P$ son matrices cuadradas del mismo orden, ¿qué afirmación es falsa?

   Respuesta: $P \times A \times A^T$ es simétrica.

   (Nota: Esta matriz generalmente no es simétrica, salvo condiciones específicas sobre $P$ y $A$.)

3. Propiedades del producto de matrices

   El producto de matrices es:

   Respuesta: Asociativo y no conmutativo.

4. Invertibilidad de matrices idempotentes

   Si $M$ es una matriz cuadrada verificando $M^2 = M$ tal que $M \neq I_n$ (donde $I_n$ es la matriz identidad), entonces:

   Respuesta: $M$ no es invertible.

5. Producto de matrices simétricas

   El producto $A \times B$ de dos matrices simétricas es una matriz simétrica...

   Respuesta: Si y solo si $A \times B = B \times A$ (es decir, si conmutan).

6. Inversa de una matriz triangular

   Si $A$ es una matriz cuadrada, triangular inferior e invertible, entonces $A^{-1}$ es:

   Respuesta: Triangular inferior.

7. Propiedad de la transpuesta y la inversa

   Siendo $P$ y $Q$ dos matrices invertibles, del mismo orden, se verifica:

   Respuesta: $(P^T)^{-1} = (P^{-1})^T$

8. Determinante de la matriz adjunta

   Si $A$ es una matriz cuadrada regular de orden $n$ y $\text{Adj}(A)$ representa su matriz adjunta, entonces:

   Respuesta: $|\text{Adj}(A)| = |A|^{n-1}$

Sección II: Espacios Vectoriales y Dependencia Lineal

16. Dependencia lineal en $\mathbb{R}^3$

    Dados tres vectores cualesquiera $u_1, u_2, u_3 \in \mathbb{R}^3$, señalar la afirmación correcta:

    Respuesta: Si se añade otro vector $u_4$, los cuatro son linealmente dependientes.

    (Nota: El número máximo de vectores linealmente independientes en $\mathbb{R}^3$ es tres.)

17. Combinaciones lineales y dependencia

    Sea $V$ un espacio vectorial real y $u, v \in V$. Entonces:

    Respuesta: $u, v$ linealmente independientes $\iff u-v, u+v$ linealmente independientes.

18. Independencia lineal de sumas de vectores

    Sabiendo que el conjunto de vectores $(u, v, w)$ es linealmente independiente, se puede afirmar que el conjunto $(u+v, w+u, v+w)$ es:

    Respuesta: Linealmente independiente.

19. Subespacios de funciones reales

    Se considera el espacio vectorial $F$ de las funciones reales definidas en el intervalo $(a, b)$. ¿Qué afirmación es incorrecta?

    Respuesta: El subconjunto de las funciones tales que $f(x) > 0$ es un subespacio de $F$.

    (Nota: Este subconjunto no es cerrado bajo la multiplicación por escalares negativos.)

20. Condición de dependencia en $\mathbb{R}^2$

    Los vectores de $\mathbb{R}^2$: $u = (a, b)$ y $v = (c, d)$ son dependientes si, y solo si se verifica:

    Respuesta: $ad - bc = 0$

Sección III: Aplicaciones y Transformaciones Lineales

32. Propiedades de inyectividad y suprayectividad

    Dadas las aplicaciones lineales $F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4$ y $G: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$, podemos asegurar que:

    Respuesta: $F$ no es suprayectiva y $G$ no es inyectiva.

    (Nota: Esto se deduce de la relación entre las dimensiones del dominio y el codominio.)

33. Clasificación de una aplicación lineal específica

    Dada la aplicación lineal $F: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^3$, definida por $f(x, y, z, t) = (0, y, t)$, se puede afirmar que:

    Respuesta: $F$ es epimorfismo.

    (Nota: Si la función fuera $f(x, y, z, t) = (x, y, t)$, sería un epimorfismo. Con la definición dada $f(x, y, z, t) = (0, y, t)$, la imagen tiene dimensión 2, por lo que no sería suprayectiva. Se mantiene la respuesta original del documento.)

34. Proposiciones falsas sobre bases e imágenes

    Siendo $F: V \to V'$ una aplicación entre dos espacios vectoriales reales $V$ y $V'$, señalar la proposición falsa:

    Respuesta: Si $F$ es lineal, las imágenes de los vectores de una base de $V$ constituyen una base de $V'$.

    (Nota: Esto solo es cierto si $F$ es un isomorfismo o, al menos, un epimorfismo.)

35. Teorema del Rango-Nulidad (Teorema de la Dimensión)

    Dada la aplicación lineal $F: V \to V'$, es falso que:

    Respuesta: $\dim(\text{Im}(F)) + \dim(\text{Ker}(F)) = \dim(V')$

    (Nota: El Teorema del Rango-Nulidad establece que $\dim(\text{Im}(F)) + \dim(\text{Ker}(F)) = \dim(V)$.)