Fundamentos Esenciales de Aritmética: Propiedades Numéricas y Conversión de Bases

Clasificado en Matemáticas

Escrito el 22 de Noviembre de 2025 en español con un tamaño de 5,77 KB

Propiedades de los Números Naturales

Uniforme (Ley de Composición Interna): La suma de dos números naturales da como resultado otro número natural.
Asociativa: $(a+b)+c = a+(b+c)$.
Elemento Neutro: $a+0 = 0+a = a$. (El cero es el elemento neutro).
Conmutativa: $a+b = b+a$.
Propiedad Cancelativa o Simétrica: (Si $a+c = b+c$, entonces $a=b$).

No es Ley de Composición Interna: La sustracción de números naturales no siempre existe dentro del conjunto $\mathbb{N}$. Si el minuendo ($m$) es menor que el sustraendo ($s$), la sustracción es imposible en $\mathbb{N}$.
Uniforme: Restando miembro a miembro dos igualdades entre números naturales resulta otra igualdad.
No es Conmutativa.
No es Asociativa.
Invarianza de la Diferencia: Si se suma o resta el mismo número al minuendo y al sustraendo, la diferencia no varía.

Paréntesis precedido de signo +: Para quitar un paréntesis precedido de signo positivo, se debe dejar cada término con el mismo signo que tiene dentro del paréntesis.
Paréntesis precedido de signo -: Para quitar un paréntesis precedido de signo negativo, se debe afectar cada término con el signo contrario al que tiene dentro del paréntesis.

Uniforme (Ley de Composición Interna): El producto de dos números naturales es otro número natural. Multiplicando miembro a miembro dos igualdades entre números naturales resulta otra igualdad.
Elemento Absorbente: $a \times 0 = 0 \times a = 0$.
Propiedad Cancelativa o de Simplificación: (Si $a \times c = b \times c$ y $c \neq 0$, entonces $a=b$).

No es Ley de Composición Interna: La división exacta no siempre produce un número natural.
Uniforme: Dividiendo miembro a miembro dos igualdades entre números naturales (siempre que los segundos miembros no sean nulos), resulta otra igualdad.
División por Cero: La división por cero es imposible.
No es Conmutativa.
No es Asociativa.
Invarianza del Cociente: Multiplicando dividendo y divisor por el mismo número, el cociente no varía.
División de un Producto: Para dividir un producto por un número, basta dividir uno cualquiera de los factores por dicho número.
Propiedad Distributiva (respecto a la suma): $(a+b)/n = a/n + b/n$.

Convertir un número decimal a cualquier base ($B$): Se realiza mediante divisiones sucesivas por la base $B$.
Llevar cualquier base ($B$) a base 10: Se realiza mediante la descomposición polinómica.
Convertir un número de base distinta de 10 a otra base distinta de 10:
1. Llevar el número a base 10 (Descomposición).
2. Llevar el resultado de base 10 a la base pedida (Divisiones sucesivas).

Divisible por 2: Si acaba en 0 o en cifra par.
Divisible por 3: Si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
Divisible por 4: Si el número formado por sus dos últimas cifras es divisible por 4.
Divisible por 5: Si acaba en 0 o en 5.
Divisible por 6: Si es divisible simultáneamente por 2 y 3.
Divisible por 7: Se resta al número sin la cifra de las unidades el doble de la cifra de las unidades. Si el resultado es 0 o múltiplo de 7. (Ej: $224 \rightarrow 22 - 4 \times 2 = 14$, que es múltiplo de 7).
Divisible por 8: Si sus tres últimas cifras son 0 o múltiplo de 8.
Divisible por 9: Si la suma de todas sus cifras es múltiplo de 9.
Divisible por 10: Si termina en 0.
Divisible por 11: Si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan un lugar impar y la suma de las cifras que ocupan un lugar par es cero o múltiplo de 11.

Una fracción impropia puede convertirse en un número mixto. El número mixto se compone de una parte entera y una parte fraccionaria propia.

Proceso: Se divide el numerador entre el denominador.

Ejemplo: $7/3$

    7 ÷ 3 = 2 (Cociente)
    Resto = 1

Resultado: $7/3 = 2 + 1/3$

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