Fundamentos Esenciales del Cálculo: De Arquímedes a las Derivadas Modernas

1. Progresión 1: Fundamentos del Cálculo
- Arquímedes: Aproximación del área de círculos con polígonos inscritos.
- Concepto: Variación promedio
- *Fórmulas:* Área de triángulo rectángulo:   1/2 * r * altura ; Área polígono:   (n/2) * r * altura 
- Zenón: Paradojas sobre movimiento y el infinito.
- Concepto: Límite, derivada
- Pensamiento Variacional: Estudio del cambio en fenómenos naturales.
2. Progresión 2: Historia del Cálculo Diferencial
- Desarrollo: Evolución desde civilizaciones antiguas hasta el Siglo XVII (Newton, Leibniz).
- Newton: Método de fluxiones (razones de cambio).
- *Concepto:* Derivada (razón de cambio instantáneo)
- Fórmula: Razones de cambio (derivadas): representadas con un punto sobre la variable.
- Leibniz: Concepto de diferencial y cociente diferencial.
- Concepto: Notación moderna
- Fórmulas: Cociente diferencial:   dx/dy ; Teorema fundamental:   ∫ f(x) dx = F(x) + C 
- Aplicaciones:
- Velocidad (Fórmula 1):   v(t) = ds/dt 
- Aceleración:  a(t) = dv/dt 
- Elasticidad de la demanda:   Ed = (ΔQ/ΔP) / (Q1/P1) 
- Aceleración angular:  α(t) = d²θ/dt² 
 3. Progresión 3: Funciones
- Concepto: Dominio, codominio, regla de correspondencia.
- Operaciones: Suma, resta, multiplicación, división, composición.
- Fórmulas:
-  (f + g)(x) = f(x) + g(x) 
-  (f - g)(x) = f(x) - g(x) 
-  (f * g)(x) = f(x) * g(x) 
-  (f / g)(x) = f(x) / g(x) 
-  (f ◦ g)(x) = f(g(x)) 
- Modelado:
- Costo cine:   C(x) = 45x + 5 
- Trayectoria:   H(t) = -16t² + v₀t + h₀ 
- Razón de Cambio: Promedio e instantánea.
- Fórmulas:
- Razón promedio:   (f(x₂) - f(x₁)) / (x₂ - x₁) 
 4. Progresión 4: Análisis Gráfico
- Interceptos: Eje X (raíces), eje Y (evaluación en 0).
- Fórmula: Interceptos con el eje X:   f(x) = 0 
- Simetría: Eje Y   (f(-x) = f(x)) , Origen   (f(-x) = -f(x)) .
- Extensión/Asíntotas: Dominio, rango, asíntotas (verticales, horizontales, oblicuas).
- Variación: Creciente, decreciente, máximos/mínimos.
- Fórmulas:
- Creciente:   f(x₁) ≤ f(x₂)   cuando   x₁ < x₂ 
- Decreciente:   f(x₁) ≥ f(x₂)   cuando   x₁ < x₂ 
- Máximos/Mínimos:   f'(c) = 0 ,  f''(c) < 0  (máximo),  f''(c) > 0  (mínimo)
5. Progresión 5: Límites
 - Concepto: Aproximación a un valor.
- Dominio/Rango: Identificación gráfica.
- Propiedades: (k = constante)
1.  lim (x→c) k = k 
2.  lim (x→c) x = c 
3.  lim (x→c) xⁿ = cⁿ 
4.  lim (x→c) kf(x) = k lim (x→c) f(x) 
- Indeterminaciones: Factorización, racionalización.