Fundamentos Esenciales del Cálculo Diferencial e Integral: Definiciones y Teoremas Clave

Límites

Se dice que la **función** $y=f(x)$ tiene **límite** y vale $L$ cuando $x$ tiende al valor $A$, si y solo si la diferencia entre la función y el límite, en su **valor absoluto** $|f(x) - L|$, se puede hacer tan pequeño como se quiera, con solo tomar valores de $x$ suficientemente próximos al valor $A$.

Infinitésimos

Se dice que una **función** $y=f(x)$ es un **infinitésimo** en $x=a$ si y solo si el límite de $f(x)$ cuando $x \to a$ es igual a $0$.

Derivadas

Dada una función $y=f(x)$, se llama **derivada primera** de la función, y se escribe $f'(x)$, al límite (si existe) del **cociente incremental** $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ cuando el incremento de la **variable independiente** ($\Delta x$) tiende a $0$.

Cociente Incremental

Es la relación entre el incremento de la función ($\Delta y$) y el incremento de la **variable independiente** ($\Delta x$). Se expresa como $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$.

Derivación Logarítmica

Si tenemos una función donde la base y el exponente son funciones derivables, $y=u^v$ (siendo $u=f(x)$ y $v=g(x)$), para derivar este tipo de funciones aplicamos el **logaritmo natural** a ambos miembros.

Diferenciales de una Función

Partiendo de que una función difiere de su límite en un **infinitésimo**, la diferencial de una función $y=f(x)$, denotada como $dy$, se define como el producto de la derivada de la función por la diferencial de la variable independiente: $dy = f'(x) dx$.

Teorema de Rolle

Sea $f(x)$ una función que cumple las siguientes condiciones:

• Es **continua** en el intervalo cerrado $[a, b]$.
• Es **derivable** en el intervalo abierto $(a, b)$.
• Toma valores iguales en los extremos del intervalo: $f(a) = f(b)$.

Entonces, existirá al menos un punto $c$ interior al intervalo $(a, b)$ tal que la **derivada en ese punto es cero**: $f'(c) = 0$.

Teorema del Valor Medio de Lagrange

Si $f(x)$ es una función continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$, entonces existe por lo menos un punto $c$ perteneciente al intervalo $(a, b)$ donde se verifica que la derivada en ese punto es igual al **cociente entre el incremento de la función** determinado por los extremos del intervalo $[a, b]$ y la amplitud del mismo:

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

Regla de L'Hôpital

Sean $f(x)$ y $g(x)$ dos funciones continuas y derivables en un entorno de $x=a$. Si ambas funciones se anulan en $x=a$ (o tienden a infinito), generando una **forma indeterminada** ($0/0$ o $\infty/\infty$), el límite del cociente de las funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas:

$$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$

Este teorema puede ser aplicado en distintos casos de indeterminación. Si en la primera instancia no se logra salvar la indeterminación, la regla puede aplicarse **reiteradamente**.

Regla de Barrow (Teorema Fundamental del Cálculo)

Si $F(x)$ es una **primitiva** de la función continua $f(x)$ definida en un intervalo $[a, b]$, se verifica que la **integral definida** es igual a la diferencia de la primitiva evaluada en los límites superior e inferior:

$$ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $$

Ecuaciones Diferenciales

Se llama así a la **expresión matemática** que contiene derivadas o diferenciales de una función desconocida que se pretende encontrar.

Integrales Definidas

La integral definida permite calcular el **área encerrada** por la curva $y=f(x)$, el eje $x$ y las rectas verticales $x=a$ y $x=b$. Para su cálculo (mediante la suma de Riemann), se divide el intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos, cuyas amplitudes pueden ser iguales o distintas. De cada subintervalo se toma un punto y se calcula su ordenada, que multiplicada por la amplitud de cada intervalo nos da el área de un rectángulo. La suma de estas áreas tiende a la integral definida cuando $n \to \infty$.