Fundamentos Esenciales de Cálculo y Números Complejos

Sección I: Conceptos Fundamentales de Cálculo y Álgebra

Método de Newton

El Método de Newton (o Newton-Raphson) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de las raíces de una función real.

1. Se selecciona un punto inicial $x_1$.
2. Se calcula la ecuación de la recta tangente (tg) en $x_1$: $y - f(x_1) = f'(x_1)(x - x_1)$.
3. Se iguala la ecuación de la tangente a cero ($y=0$) para encontrar la siguiente aproximación $x_2$.

Máximos y Mínimos

Para encontrar los extremos absolutos de una función $f(x)$ en un intervalo cerrado:

1. Encontrar los puntos críticos:
   • Donde la primera derivada es cero: $f'(x) = 0$.
   • Donde la primera derivada no está definida.
2. Evaluar la función $f(x)$ en los puntos críticos encontrados y en los extremos del intervalo.
3. El valor más grande es el máximo absoluto y el valor más pequeño es el mínimo absoluto.

Números Complejos

Un número complejo $z = a + bi$ puede representarse en diferentes formas:

• Forma Polar: $r\angle\phi$
• Forma Trigonométrica: $r(\cos\phi + i \sin\phi)$
• Forma Exponencial (Euler): $r \cdot e^{i\phi}$

Cálculo de Módulo y Argumento

• El módulo es $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.
• El argumento es $\phi = \arctan(b/a)$ (ajustando el cuadrante).
• El conjugado es $\bar{z} = a - bi$.

Operaciones y Potencias

• Potencia: $z^n = r^n \cdot e^{in\phi}$.
• Raíces $n$-ésimas:

  

  Donde $k = 0, 1, \dots, n-1$.

Funciones de Dos Variables

Ecuación del Plano Tangente

La ecuación del plano tangente a la superficie $z = f(x, y)$ en el punto $(x_0, y_0)$ es:

$$z = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0)$$

Donde $f'_x$ y $f'_y$ son las derivadas parciales evaluadas en el punto $(x_0, y_0)$.

Polinomio de Taylor

El Polinomio de Taylor de grado $n$ centrado en $a$, $T_n(x)$, se utiliza para aproximar una función $f(x)$ cerca del punto $a$:

$$T_n(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

Integrales y Derivación

Integral Definida (Suma de Riemann)

La aproximación del área bajo la curva mediante la Suma de Riemann se basa en dividir el intervalo $[a, b]$ en $n$ subintervalos, donde el ancho de cada subintervalo es:

$$ \Delta x = \frac{b-a}{n} $$

Integral Indefinida y Teorema Fundamental del Cálculo (TFC)

Si $h(x) = \int_a^x f(t) dt$, entonces, por el TFC, la derivada de la integral es la función original:

• $h'(x) = f(x)$
• $f(x) = \frac{d}{dx} \int f(t) dt$

Integrales Trigonométricas

Métodos para resolver integrales de la forma $\int \sin^m(x) \cos^n(x) dx$:

Caso 1: $m$ o $n$ es impar

1. Extraemos un factor (seno o coseno) para usarlo en la sustitución $u$.
2. Aplicamos la identidad pitagórica: $\mathbf{\sin^2 x + \cos^2 x = 1}$.

Caso 2: Ambos $m$ y $n$ son pares

Se utilizan las identidades de reducción de potencia:

• $\mathbf{\sin^2 x} = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$
• $\mathbf{\cos^2 x} = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$

Identidades de Derivadas y Trigonométricas Útiles

• $(\tan x)' = \sec^2 x$
• $(\sec x)' = \tan x \cdot \sec x$
• $\mathbf{\sec^2 x} = 1 + \tan^2 x$

Derivación Implícita

La derivación implícita se usa cuando $y$ no está explícitamente definida como función de $x$. Recordamos que $y' = dy/dx$.

1. Derivar ambos lados de la ecuación con respecto a $x$.
2. Cada vez que se deriva un término que contiene $y$, se aplica la regla de la cadena y se multiplica por $dy/dx$ (o $y'$).
3. Despejar la expresión para $dy/dx$.

Regla de la Cadena

La Regla de la Cadena se aplica para derivar funciones compuestas.

Fórmula General

$$ \frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$

Regla de la Potencia Generalizada

$$ \frac{d}{dx} [f(x)^n] = n \cdot [f(x)]^{n-1} \cdot f'(x) $$

Sección II: Resumen Adicional de Fórmulas y Conceptos

Método de Newton

1. Punto inicial $x_1$.
2. Ecuación de la tangente en $x_1$: $y - f(x_1) = f'(x_1)(x - x_1)$.
3. Hacer $y=0$ para encontrar $x_2$.

Máximos y Mínimos

1. Puntos críticos: $f'(x)=0$ o $f'(x)$ no definida.
2. Evaluar $f(x)$ en los extremos del intervalo.
3. Seleccionar el máximo y el mínimo entre los valores anteriores.

Números Complejos

• Polar: $r\angle\phi$
• Trigonométrica: $r\cos\phi + i r\sin\phi$
• Exponencial: $r \cdot e^{i\phi}$

Módulo: $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. Argumento: $\phi=\arctan(b/a)$. Conjugado: $\bar{z}=a-bi$.

Potencia: $z^n=r^n \cdot e^{in\phi}$.

Donde $k=0, 1, \dots, n-1$.

Funciones de Dos Variables

Ecuación del plano tangente:

$$z = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0)$$

Polinomio de Taylor

Fórmula general para $T_n(x)$ centrado en $a$:

$$T_n(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

Integrales

Integral Definida

Ancho de subintervalo para Suma de Riemann: $\Delta x = (b-a)/n$.

Integral Indefinida

Relación con el TFC: Si $h(x) = \int f(t) dt$, entonces $h'(x) = f(x)$.

Integrales Trigonométricas

• Si $m$ o $n$ es impar: Extraer factor y usar $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
• Si ambos son pares: Usar $\sin^2 x = (1-\cos 2x)/2$ o $\cos^2 x = (1+\cos 2x)/2$.

Identidades útiles: $(\tan x)'=\sec^2 x$, $(\sec x)'=\tan x \cdot \sec x$, $\sec^2 x=1+\tan^2 x$.

Derivación Implícita

1. Derivar ambos lados (multiplicando por $dy/dx$ al derivar $y$).
2. Despejar $dy/dx$.

Regla de la Cadena

Fórmula: $\frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Potencia: $\frac{d}{dx} [f(x)^n] = n \cdot [f(x)]^{n-1} \cdot f'(x)$.