Fundamentos Esenciales de Funciones y Geometría: Fórmulas y Definiciones Clave

Escrito el 25 de Noviembre de 2025 en español con un tamaño de 7,19 KB

Conceptos Fundamentales de Funciones

Una Función es una relación entre dos magnitudes por la que a cada valor de una de ellas corresponde un valor determinado de la otra.

Dominio: Conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente (x).
Recorrido (o Rango): Conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (y).
Continuidad: Una función es continua en los puntos de un intervalo si su gráfica no presenta saltos ni interrupciones en dicho intervalo.
Discontinuidad: Son los puntos donde la gráfica de una función presenta saltos o interrupciones.

Tasa de Variación (TV): La TV de una función f(x) en un intervalo [a, b] es el aumento o disminución que experimenta el valor de la función al pasar la variable independiente del valor a al valor b.
Crecimiento: Una función es creciente en un intervalo si para todo par de valores en ese intervalo la tasa de variación es positiva.
Decrecimiento: Una función es decreciente en un intervalo si para todo par de valores en ese intervalo la tasa de variación es negativa.
Máximo Relativo: Si para los valores situados inmediatamente a su izquierda la función crece y para los de su derecha decrece.
Mínimo Relativo: Si para los valores situados inmediatamente a su izquierda la función decrece y para los de su derecha crece.
Máximos y Mínimos Absolutos: Son el mayor y el menor valor que toma una función en un intervalo dado.

Simetría Par: Cuando para cualquier valor x de su dominio se verifica que f(-x) = f(x).
Simetría Impar: Cuando para cualquier valor x de su dominio se verifica que f(-x) = -f(x).
Función Periódica: Cuando los valores que toma se van repitiendo cada cierto intervalo, que se llama Período.

Función Lineal (o de Proporcionalidad Directa): De la forma y = mx. El número m (la pendiente) no puede ser cero y es la constante de proporcionalidad. Su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas (0, 0).
Función Afín: De la forma y = mx + n. Su gráfica es una recta. m es la pendiente de la recta y n es la ordenada en el origen (donde la recta corta al eje y).

Teorema de Thales: Toda recta paralela a un lado de un triángulo que corta los otros dos lados determina un triángulo más pequeño que es semejante al triángulo original. La relación de semejanza se expresa como: $$ \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} $$
Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. $$ h^2 = c_1^2 + c_2^2 $$
Teorema de la Altura: En el triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa (h) es igual al producto de las proyecciones de los catetos (b' y c'). $$ h^2 = b' \cdot c' $$
Teorema del Cateto: En el triángulo rectángulo, el cuadrado de cada cateto es igual al producto de su proyección sobre la hipotenusa por la hipotenusa completa (a). $$ b^2 = b' \cdot a \quad \text{o} \quad c^2 = c' \cdot a $$

Mediatriz: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a la misma distancia (equidistan) de los extremos del segmento. Corta al segmento en su punto medio.
Bisectriz: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados de dicho ángulo. Divide el ángulo en dos ángulos iguales.
Circunferencia: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto interior llamado centro.

Rectángulo: $A = a \cdot b$
Paralelogramo: $A = b \cdot h$ (base por altura)
Rombo: $A = \frac{D \cdot d}{2}$ (Diagonal mayor por diagonal menor entre dos)
Triángulo: $A = \frac{b \cdot h}{2}$
Trapecio: $A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}$ (Suma de bases por altura entre dos)
Polígono Regular: $A = \frac{P \cdot a}{2}$ (Perímetro por apotema entre dos)

Área del Círculo: $A = \pi r^2$
Longitud de la Circunferencia: $L = 2 \pi r$
Longitud de Arco de Circunferencia: $L = \frac{2 \pi r \cdot n}{360}$ (donde n es el ángulo en grados)
Área del Sector Circular: $A = \frac{\pi r^2 \cdot n}{360}$
Área de la Corona Circular: $A = \pi (R^2 - r^2)$ (donde R y r son los radios)
Área del Trapecio Circular: $A = \frac{\pi \cdot n (R^2 - r^2)}{360}$

Nota: $V$ = Volumen, $A_t$ = Área Total, $A_b$ = Área de la Base, $A_l$ = Área Lateral, $h$ = altura, $r$ = radio, $g$ = generatriz.

Esfera:
- Volumen: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$
- Área Superficial: $A_t = 4 \pi r^2$
Cilindro:
- Área de la Base: $A_b = \pi r^2$
- Área Lateral: $A_l = 2 \pi r h$
- Área Total: $A_t = 2 A_b + A_l$
- Volumen: $V = A_b \cdot h$
Cono:
- Área de la Base: $A_b = \pi r^2$
- Área Lateral: $A_l = \pi r g$
- Área Total: $A_t = A_b + A_l$
- Volumen: $V = \frac{A_b \cdot h}{3}$

Prisma:
- Área Lateral: $A_l = P_{base} \cdot h$ (o número de caras por $A_{cara}$)
- Área Total: $A_t = 2 A_b + A_l$
- Volumen: $V = A_b \cdot h$
Pirámide:
- Área Total: $A_t = A_b + A_l$
- Volumen: $V = \frac{A_b \cdot h}{3}$

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