Fundamentos Esenciales de Geometría Euclidiana y Trigonometría
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Este documento ha sido elaborado como una **hoja de repaso** concisa y clara, diseñada para consolidar los **conceptos fundamentales** de la Geometría Euclidiana y la Trigonometría. Su formato está optimizado para facilitar la lectura, impresión o conversión a PDF.
Repaso de Geometría Euclidiana y Trigonometría
Conceptos Fundamentales
- Axioma: Proposición **evidente** que no necesita demostración.
- Postulado: Afirmación **aceptada sin prueba**, base de demostraciones.
- Lema: Proposición **demostrada** que ayuda a probar teoremas menores.
- Teorema: Proposición **demostrada lógicamente** con base en axiomas y postulados.
- Corolario: Consecuencia **directa** de un teorema ya demostrado.
Comparativa: Geometría Euclidiana y Geometría Analítica
| Característica | Geometría Euclidiana | Geometría Analítica |
|---|---|---|
| Uso de **coordenadas** | No | Sí |
| Enfoque | **Razonamiento lógico** y visual | **Ecuaciones algebraicas** |
| Base | **Axiomas** y **postulados** | **Sistema de coordenadas cartesianas** |
| Representación | **Geométrica pura** | **Algebraico-geométrica** |
Clasificación de Ángulos
- Ángulo agudo: mayor que 0° y menor que 90°
- Ángulo recto: 90°
- Ángulo obtuso: mayor que 90° y menor que 180°
- Ángulo llano: 180°
- Ángulo entrante: mayor que 180° y menor que 360°
- Ángulo perígono: 360°
Propiedades de los Ángulos
- Ángulos complementarios: α + β = 90°
- Ángulos suplementarios: α + β = 180°
Clasificación de Triángulos
Por la longitud de sus lados:
- Equilátero: tres lados iguales, ángulos de 60°
- Isósceles: dos lados iguales
- Escaleno: tres lados desiguales
Por la medida de sus ángulos:
- Acutángulo: tres ángulos menores que 90°
- Rectángulo: un ángulo de 90°
- Obtusángulo: un ángulo mayor que 90°
Nota: La suma de los **ángulos interiores** de todo triángulo es **180°**.
Líneas y Puntos Notables de un Triángulo
| Elemento | Definición |
|---|---|
| Bisectriz | Divide un ángulo en dos partes iguales |
| Incentro | Punto de intersección de bisectrices; centro de la circunferencia inscrita |
| Mediatriz | Perpendicular en el punto medio de un lado |
| Circuncentro | Punto de intersección de mediatrices; centro de la circunferencia circunscrita |
| Mediana | Une un vértice con el punto medio del lado opuesto |
| Baricentro | Punto de intersección de las medianas |
| Altura | Línea perpendicular desde un vértice al lado opuesto |
| Ortocentro | Punto de intersección de las alturas |
En un **triángulo equilátero**: **Incentro** = **Circuncentro** = **Baricentro** = **Ortocentro**.
Paralelogramos
| Figura | Características |
|---|---|
| Rectángulo | Lados opuestos iguales y paralelos, ángulos de 90°, diagonales iguales |
| Cuadrado | Lados iguales, ángulos de 90°, diagonales iguales y perpendiculares |
| Rombo | Lados iguales, diagonales perpendiculares y de diferente longitud |
Problemas Aplicados
1. Cálculo del ángulo entre manecillas del reloj
- Manecilla horaria: 82.5°
- Segundero: 150°
- Minutero: 270°
- Ángulo entre horaria y segundero: 67.5°
- Grados restantes para que el segundero alcance al minutero: 120°
2. Ángulo entre escalera y pared
- Ángulo con la pared = 90° − 54° = **36°**
3. Complemento de un ángulo
- Normalizado: 38°20′18″
- Complemento = 90° − 38°20′18″ = **51°39′42″**
4. Suplemento de un ángulo
- Normalizado: 61°58′55″
- Suplemento = 180° − 61°58′55″ = **118°01′05″**
5. Operaciones con ángulos
α = 31°96′138″ y β = 72°23′54″
- α **normalizado**: 32°38′18″
- β **normalizado**: 72°23′54″
Suma α + β:
→ **32°38′18″** + **72°23′54″** = **105°02′12″**
Resta β − α:
→ **72°23′54″** − **32°38′18″** = **39°45′36″**
Funciones Trigonométricas
Triángulo rectángulo:
Lados:
a = **cateto opuesto** al ángulo A
b = **cateto adyacente** al ángulo A
c = **hipotenusa**
Funciones trigonométricas del ángulo A:
- seno(A) = a / c
- coseno(A) = b / c
- tangente(A) = a / b
- cotangente(A) = b / a
- secante(A) = c / b
- cosecante(A) = c / a
Con **datos**: a = 6, b = 8, c = 10
- sen(A) = 6 / 10 = **0.6**
- cos(A) = 8 / 10 = **0.8**
- tan(A) = 6 / 8 = **0.75**
- cot(A) = 8 / 6 ≈ **1.33**
- sec(A) = 10 / 8 = **1.25**
- csc(A) = 10 / 6 ≈ **1.67**