Fundamentos Esenciales de la Probabilidad: Fórmulas y Leyes Clave

Leyes de De Morgan en Probabilidad

Las Leyes de De Morgan relacionan la unión y la intersección de sucesos con sus sucesos contrarios (complementarios):

• El suceso contrario del complemento de la unión de dos sucesos es la intersección de los sucesos contrarios.

  Fórmula: $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

• El suceso contrario del complemento de la intersección de dos sucesos es la unión de los sucesos contrarios.

  Fórmula: $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

Ley de los Grandes Números

Esta ley describe la tendencia de la frecuencia relativa a estabilizarse (converger) hacia la probabilidad teórica cuando el experimento se realiza en un número elevado de ocasiones.

Propiedades Fundamentales de la Probabilidad (Axiomas)

1. La probabilidad de un suceso cualquiera, A, es un número comprendido entre 0 y 1.

   Fórmula: $0 \leq P(A) \leq 1$

2. La suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales de un experimento es 1.

   Fórmula: $P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_n) = 1$

3. La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles (mutuamente excluyentes) es igual a la suma de las probabilidades de los sucesos.

   Fórmula: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$, si $A \cap B = \emptyset$

Regla de Laplace y Definición Clásica de Probabilidad

La Regla de Laplace permite conocer la probabilidad de que ocurra un suceso antes de realizar el experimento, conocida como probabilidad a priori.

Fórmula de Laplace

$$P(A) = \frac{\text{Número de casos favorables al suceso A}}{\text{Número de casos posibles}}$$

Este resultado se conoce también como la definición clásica de probabilidad, y verifica las siguientes condiciones:

• El número de posibles resultados debe ser finito.
• Los resultados del experimento han de ser sucesos elementales.
• Los sucesos elementales tienen que ser equiprobables.

Tipos de Sucesos y Experimentos

Experimento Compuesto

Un experimento compuesto está formado por dos o más experimentos aleatorios simples realizados de manera consecutiva.

Sucesos Independientes

Dos sucesos A y B son independientes entre sí, si y solo si, el hecho de que se verifique uno de ellos no influye en la probabilidad de que se verifique el otro.

Fórmula de la Intersección: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Sucesos Dependientes

Dos sucesos A y B son dependientes entre sí, si y solo si, el hecho de que se verifique uno de ellos influye en la probabilidad de que se verifique el otro.

Fórmula de la Intersección (Probabilidad Condicional):

• $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$
• $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$

Probabilidad de la Unión de Sucesos

Unión de Sucesos Incompatibles

Si dos sucesos A y B son incompatibles ($A \cap B = \emptyset$), la probabilidad de su unión es igual a la suma de la probabilidad de cada suceso.

Fórmula: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Unión de Sucesos Compatibles

Si dos sucesos son compatibles (tienen elementos en común), la probabilidad de su unión es igual a la suma de la probabilidad de cada suceso menos la probabilidad de la intersección de A y B.

Fórmula: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Ejemplo Práctico: Extracción de Bolas (1-10)

Consideremos un experimento aleatorio donde se extrae una bola numerada del 1 al 10.

• Suceso Imposible: Sacar un 11. (Probabilidad = 0)
• Suceso Elemental: Sacar un 5. (Un único resultado posible)
• Suceso Compuesto: Sacar un número par (2, 4, 6, 8, 10). (Formado por varios sucesos elementales)
• Suceso Seguro: Sacar un número menor o igual a 10. (Probabilidad = 1)