Fundamentos de Espacios Vectoriales y Transformaciones Lineales

Conceptos Fundamentales de Álgebra Lineal

Espacios Vectoriales (EV)

Un Espacio Vectorial (EV) se define como una estructura algebraica conformada por un conjunto no vacío de elementos, denominados vectores, junto con dos operaciones:

• Una operación interna (suma de vectores).
• Una operación externa (producto de un vector por un escalar).

Subespacios Vectoriales (SEV)

Un subconjunto W de un Espacio Vectorial V se considera un Subespacio Vectorial (SEV) si, al heredar las operaciones de V, W mismo constituye un Espacio Vectorial.

Combinación Lineal (C.L.)

Dados los vectores v, v1, ..., vn de un Espacio Vectorial V, diremos que v es una Combinación Lineal (C.L.) de los vectores v1, ..., vn si existen n escalares del cuerpo tal que: v = α1*v1 + α2*v2 + ... + αn*vn.

Sistema Generador (Sist. Gener)

Un conjunto de vectores cuya combinación lineal genera un subespacio vectorial.

Base de un Subespacio Vectorial (B. de s.e.v)

Un conjunto de vectores independientes cuya combinación lineal genera el subespacio vectorial.

Base de un Espacio Vectorial (B. de espacio)

Un conjunto ordenado de vectores de un Espacio Vectorial V se denomina base de V si es un conjunto generador de V y es linealmente independiente (LI).

Matriz de Cambio de Base (M.C.B)

La Matriz de Cambio de Base (MB'B) de una base B' a una base B es aquella que, al premultiplicarla por las coordenadas de un vector V en la base B', resulta en las coordenadas de ese mismo vector V en la base B. Las columnas de la MB'B representan las coordenadas de los vectores de la base B' expresadas en la base B.

Operaciones con Subespacios

Suma de Subespacios (Sub. suma)

Para obtener un sistema generador de la suma de dos subespacios (S + T), se unen las bases de ambos subespacios. La dimensión de la suma se calcula mediante la fórmula:

dim(S + T) = dim(S) + dim(T) - dim(S ∩ T)

Intersección de Subespacios (Sub. inters)

Para obtener el subespacio de intersección (S ∩ T), se unen las ecuaciones implícitas de ambos subespacios y se resuelve el sistema de ecuaciones resultante.

Bases Ortogonales y Ortonormales

Base Ortogonal (B. ortogon)

En un espacio euclídeo E, un sistema de vectores se considera ortogonal si el producto escalar entre cualquier par de vectores distintos del sistema es cero (vi · vj = 0 para i ≠ j).

Base Ortonormal (B. ortonorm)

Un sistema de vectores es ortonormal si sus vectores son ortogonales entre sí (vi · vj = 0 para i ≠ j) y, además, cada vector es unitario (su norma es 1, ||vi|| = 1).

Aplicaciones Lineales

Aplicaciones Lineales (App. Lineales)

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K. Una función f: V → W se denomina aplicación lineal si cumple las siguientes propiedades:

1. Aditividad: f(u + v) = f(u) + f(v), para todo par de vectores u y v pertenecientes a V.
2. Homogeneidad: f(αu) = αf(u), para todo vector u perteneciente a V y todo escalar α perteneciente a K.

Matriz Asociada y Propiedades

Matriz Asociada a la Aplicación en Bases Canónicas

Para obtener la matriz asociada a una aplicación lineal en las bases canónicas, se calculan las imágenes de los vectores de la base canónica del espacio inicial y se colocan como columnas de la matriz.

Núcleo de una Aplicación (Ker f)

El núcleo de una aplicación (Ker f) es el subespacio formado por todos aquellos vectores del espacio inicial cuya imagen es el vector nulo. Se obtiene resolviendo el sistema formado al igualar a cero los componentes de la expresión analítica de la aplicación.

Imagen de una Aplicación (Im f)

La imagen de una aplicación (Im f) es el subespacio formado por los vectores del espacio final que son imagen de algún vector de la aplicación. Se forma un sistema generador del subespacio imagen con las imágenes de los vectores de la base canónica del espacio inicial.

Se cumple la siguiente relación de dimensiones:

dim(Ker f) + dim(Im f) = dim(Espacio Inicial)

Matrices Diagonalizables

Una matriz es diagonalizable si las dimensiones de los subespacios propios coinciden con la multiplicidad algebraica de los valores propios correspondientes.

Matriz Diagonal

En la diagonal de una matriz diagonal se colocan los valores propios (λ) repetidos según su multiplicidad.

Matriz de Paso

Los vectores de las bases (generalmente la base de autovectores) forman las columnas de la matriz de paso.

Condiciones para Bases Ortogonales y Ortonormales

Para que una base sea ortogonal, el producto escalar de todas las combinaciones de vectores distintos debe ser cero.

Para que una base sea ortonormal, todos los vectores deben ser unitarios (su norma debe ser igual a 1).