Fundamentos de Estadística Descriptiva e Inferencial: Medidas de Variabilidad y Contraste de Hipótesis

Medidas Fundamentales en Estadística

Medidas de Tendencia Central

Estas medidas buscan representar el centro de la distribución de los datos:

• Promedio (Media Aritmética, $\bar{x}$ o $\mu$)
• Mediana
• Media Geométrica

Medidas de Dispersión (Variabilidad)

Estas medidas cuantifican la dispersión de los datos alrededor del valor central (donde $n$ es el número de medidas):

• Variabilidad (Intervalo o Rango): Valor alto - Valor bajo.
• Desviación Estándar ($s$): Mide la dispersión promedio de los datos respecto a la media.
• Varianza ($s^2$): Es el cuadrado de la desviación estándar. Se relaciona con los grados de libertad y la suma de cuadrados.
• Coeficiente de Variación (CV): Se expresa como porcentaje y permite comparar la dispersión entre conjuntos de datos con diferentes medias. $CV = (s / \bar{x}) \times 100$.

Evaluación de la Distribución de Datos

Una vez obtenidas las medidas de tendencia central y dispersión, es crucial evaluar la DISTRIBUCIÓN de los datos en torno al valor central:

• Distribución Normal (DN): Característica de los datos paramétricos.
• Distribución con Sesgo: Característica de los datos no paramétricos.

Criterios para Evaluar la Distribución

Para evaluar si una distribución se aproxima a la Normal, se utilizan dos parámetros clave:

• Asimetría o Sesgo (SKEWNESS): Mide la falta de simetría de la distribución.
• Aplastamiento o Esbeltez (KURTOSIS): Mide cuán aplanada o picuda es la distribución.

Si los valores de Skewness y Kurtosis son menores a $|2|$ (o $|3|$ en criterios más laxos), se considera que los datos cumplen con la Distribución Normal (DN).

La Distribución Normal y la Estandarización

Caracterización de la Distribución Normal

La DN se caracteriza por tener un valor promedio poblacional ($\mu$) y una varianza poblacional ($\sigma^2$). El área bajo la curva representa la probabilidad de ocurrencia de un valor.

Estandarización (Puntuación Z)

Para comparar valores de diferentes distribuciones, se estandarizan mediante la puntuación Z:

$$Z = \frac{X_i - \mu}{\sigma}$$

Distribución t de Student

En la práctica, la varianza poblacional ($\sigma^2$) es generalmente desconocida. Se utiliza la desviación estándar muestral ($s$) para $n$ medidas. En este caso, se emplea la Distribución t de Student:

$$t = \frac{X_i - \mu}{s}$$

La probabilidad calculada con la distribución $t$ depende de la exactitud de $s$, la cual a su vez depende de los grados de libertad ($n-1$). Cuanto menor sea $(n-1)$, mayor es la probabilidad de una desviación extrema.

Error Estándar y Límites de Confianza

Error Estándar de la Media (EEM)

El Error Estándar de la Media (EEM) proporciona una medida de la variabilidad del promedio muestral. Depende de la desviación estándar ($s$) y del tamaño de la muestra ($n$):

$$EEM = \frac{s}{\sqrt{n}}$$

La distribución $t$ también se utiliza para una media y su error estándar:

$$t = \frac{\bar{X} - \mu}{s / \sqrt{n}}$$

Límites de Confianza de la Media (LC)

Los Límites de Confianza (LC) definen el intervalo dentro del cual se supone que se encuentra el valor verdadero poblacional ($\mu$), asumiendo la ausencia de error sistemático. El intervalo más frecuente es el 95%:

$$\mu_{LC} = \bar{X} \pm t_{95\%(n-1)} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$$

Contraste de Hipótesis y Significancia

Contraste de Significancia

El contraste de significancia compara una medida experimental (observada) con un valor conocido o teórico. Su objetivo es probar la veracidad de la Hipótesis Nula ($H_0$).

Hipótesis Nula ($H_0$)

La $H_0$ establece que no existe otra diferencia entre el valor observado ($\bar{X}$) y el valor conocido ($\mu$) que la atribuible a la variación aleatoria (no hay error sistemático).

Nivel de Significancia ($\alpha$)

La $H_0$ se rechaza cuando la probabilidad de que la diferencia observada ocurra por azar es menor que 1/20, es decir, $P < 0.05$. Este valor ($0.05$) es el nivel de significancia ($\alpha$).

Decisión mediante t de Student

Para decidir si la diferencia es significativa, se calcula el valor $t$ experimental ($t_{exp}$) y se compara con el valor $t$ tabulado (crítico) para los grados de libertad y el nivel de significancia elegido:

$$t_{exp} = \frac{(\bar{X} - \mu) \times \sqrt{n}}{s}$$

• Si $P(t_{exp}) < 0.05$: La diferencia es significativa. Se rechaza $H_0$.
• Si $P(t_{exp}) \ge 0.05$: La diferencia no es significativa. No se rechaza $H_0$.

Comparación de Dos Medias Experimentales

Comparación de Promedios mediante T-test

El T-test compara dos promedios muestrales. Se basa en la relación Señal / Ruido:

$$\text{Señal} / \text{Ruido} = \frac{\text{Diferencia entre promedios de grupos}}{\text{Variabilidad de los grupos}}$$

La fórmula general para el $t_{exp}$ (asumiendo varianzas iguales y simplificando la notación de la varianza combinada $S_p^2$) es:

$$t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{S_p^2 (1/n_1 + 1/n_2)}}$$

Establecimiento de Diferencia Significativa

Para establecer una diferencia significativa entre dos promedios, se relaciona la cercanía de estos valores con la variabilidad que presentan para un determinado $n$. Se calcula $t_{exp}$ y se obtiene la probabilidad asociada ($P$).

El objetivo es determinar cuán probable es que la diferencia entre las medias sea debida únicamente al azar (nivel de significancia $\alpha$).

• Si $P(t_{exp}) < 0.05$: La diferencia es significativa.
• Si $P(t_{exp}) \ge 0.05$: La diferencia no es significativa.