Fundamentos de Estadística y Probabilidad: Conceptos y Fórmulas Clave

Estadística Descriptiva

Medidas de Posición y Tendencia Central

La estadística se apoya en diversas herramientas para el tratamiento de datos:

• Medida de posición: Es un número que se toma como orientación para referirnos a un conjunto de datos.
• Media: Se define como el centro físico del conjunto de datos.
• Mediana: Es el valor que divide a un conjunto de observaciones ordenadas en dos partes iguales.
• Moda: Representa el valor que se da con mayor frecuencia en la muestra.
• Cuartiles: Son aquellos números que dividen una sucesión de datos ordenados en cuatro partes porcentualmente iguales.

Medidas de Dispersión y Forma

• Desviación media: Es la media de los valores absolutos de las desviaciones respecto de la media o mediana.
• Sesgo:
  • Si Cs = 0, la curva es simétrica.
  • Si Cs > 0, es sesgada a la derecha.
  • Si Cs < 0, es sesgada a la izquierda.
• Curtosis:
  • K = 3 indica la forma de una normal estandarizada.
  • K > 3 indica curvas más empinadas (leptocúrticas).
  • K < 3 indica curvas más aplanadas (platicúrticas).

Teoría de la Probabilidad

Conceptos Fundamentales

• Experimento: Es el proceso por medio del cual una observación es registrada. Cada uno da lugar a eventos.
• Eventos: Colección específica de puntos muestrales.
• Espacio muestral: Conjunto de todos los puntos muestrales de un experimento.
• Probabilidad: La probabilidad de un evento A es igual a la suma de las probabilidades de los puntos muestrales de A.

Eventos Compuestos y Relaciones

Los eventos compuestos están formados por dos o más eventos, que pueden relacionarse por:

• Unión: La unión de A y B (A ∪ B) son todos los puntos muestrales de A, de B o de ambos.
• Intersección: La intersección de A y B (A ∩ B) son todos los puntos muestrales presentes simultáneamente en A y B.

Relación entre Eventos:

• Complementarios: El complemento de A son los puntos muestrales que están en el espacio muestral S, pero no se encuentran en A.
• Independientes: La ocurrencia o no de uno no cambia la probabilidad de ocurrencia del otro.
• Mutuamente excluyentes: No tienen ningún punto muestral en común.

Formulario de Estadística y Probabilidad

Cálculos de Intervalos y Frecuencias

• K (Número de intervalos): 1 + 3.322 x log(n)
• Longitud de intervalo: (X_M - X_m) / K
• Media (X̄): Σ(f_i x X_i) / n
• Mediana (X): l_m + [(n/2) - (F_m-1) / f_m] x C
• Moda (X): l_m + [d₁ / (d₁ + d₂)] x C
• Cuartil (Q_k): l_k + [(K(n/4) - F_k) / f_k] x C

Medidas de Variabilidad y Forma

• Amplitud (A): X_M - X_m
• Desviación Media (DM): Σ(|X_i - X̄| x f) / n
• Varianza (S²): Σ[(X_i - X̄)² x f] / n
• Desviación Estándar (S): Σ[(X_i - X̄)² x f] / n
• Coeficiente de Variación (CV): (S / X̄) x 100
• Puntaje Zi: (X_i - X̄) / S
• Coeficiente de Sesgo (CS): Σf_i(X_i - X̄)³ / n / S³
• K (Curtosis): Σf_i(X_i - X̄)⁴ / n / S⁴

Combinatoria y Reglas de Probabilidad

• Permutaciones (sin repetición): P_n = n!
• Permutaciones (con repetición): P_n = n! / (a! b! c!)
• Variaciones (sin repetición): V_m,n = m! / (m - n)!
• Variaciones (con repetición): V'_m,n = mⁿ
• Combinaciones: C_m,n = m! / [(m - n)! n!]
• Probabilidad Clásica: P(A) = n_A / N

Probabilidad de Eventos Compuestos:

• Unión: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• Condicional: P(A/B) = P(A ∩ B) / P(B)
• Complementarios: 1 = P(A) + P(Aᶜ) → P(A) = 1 - P(Aᶜ)
• Independientes: P(A/B) = P(A); P(B/A) = P(B); P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
• Excluyentes: P(A ∩ B) = 0; P(A ∪ B) = P(A) + P(B)