Fundamentos Estadísticos de la Medición: Distribución Normal y Variables Continuas

Fundamentos de la Medición y Variables Aleatorias Continuas

Concepto de Medición

Se entiende por medición el conjunto de operaciones que tienen por objeto determinar el valor de un mensurando por comparación con el patrón de medida. Este proceso se realiza bajo circunstancias cambiantes, lo que conlleva que múltiples mediciones de un mismo mensurando arrojen resultados diferentes, generando discrepancias.

Cuando el componente aleatorio es pequeño, estas discrepancias también lo son, dando lugar a medidas precisas, lo cual no significa necesariamente que sean exactas. Estos principios rigen cualquier medición, incluyendo aquellas en el contexto de la Topografía, donde habitualmente se miden magnitudes cuyas variables pueden tomar infinitos valores dentro de un intervalo (variables aleatorias continuas).

Estas medidas se ajustan a modelos de distribución normal, frecuentemente utilizada en aplicaciones estadísticas. Su extendida utilización se justifica por la frecuencia con la que ciertos fenómenos tienden a asemejarse a esta distribución.

Probabilidad en Variables Aleatorias Continuas

La infinidad de valores para las variables aleatorias continuas provoca que no se pueda determinar la probabilidad de un valor concreto. En cambio, sí es posible calcular, mediante la integración de la función de distribución de frecuencias (o función de densidad de probabilidad), lo siguiente:

• La probabilidad correspondiente a un intervalo de valores.
• La probabilidad de que el valor de la variable no supere un valor concreto.

Por lo tanto, se hace necesario distinguir los siguientes conceptos fundamentales:

Función de Densidad de Probabilidad (f(x))

Siendo x una variable aleatoria continua que toma valores dentro de un intervalo [a, b], se consideran subintervalos de menor amplitud para determinar el polígono de frecuencias relativas de la variable (densidades de frecuencias). Al contemplar intervalos cada vez menores, el polígono de frecuencias relativas se irá asemejando a la curva correspondiente a la función de distribución de frecuencias (función de densidad de probabilidad).

La probabilidad de que la variable x tome valores entre $x_0$ y $x_0 + h$ viene dada por la expresión:

Donde $f(x)$ es la función de densidad de probabilidad.

Función de Distribución Acumulada (F(x))

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua x es el modelo teórico de la curva de frecuencias acumuladas. Esta función debe cumplir las siguientes propiedades:

• Ser creciente.
• Tomar valores positivos entre 0 y 1.

Siendo x una variable aleatoria continua que toma valores en el intervalo [a, b], la probabilidad acumulada ($F(x)$) de que la variable ($x$) tome valores entre $a$ y $x_i$ será:

Por lo tanto, la función de distribución acumulada ($F(x)$) es una primitiva de la función de densidad de probabilidad ($f(x)$) o, lo que es lo mismo, la función de densidad de probabilidad es la derivada de la función de distribución acumulada. Su principal utilidad es determinar la probabilidad de que x sea menor o igual que un valor concreto.