Fundamentos de las Estructuras Aditivas y Resolución de Problemas Matemáticos

La Adición en el Conjunto de Números Naturales (N)

La adición en N es la función que asocia a todo par de números $a$ y $b$ la suma $a + b$. En el conjunto de números naturales, la adición está definida para cualquier caso: siempre se puede calcular la suma.

Notación formal: $f: N \times N \to N$

Operación: $Suma(a, b) = a + b$, $\forall a, b \in N$

Propiedades de la Adición en N

• La adición es asociativa en N. Para toda tripleta de números naturales $a$, $b$ y $c$ se verifica: $a + (b + c) = (a + b) + c$.
• La adición es conmutativa en N. Para todo par de naturales $a$ y $b$, se verifica: $a + b = b + a$.
• El 0 es el elemento neutro para la adición: $a + 0 = 0 + a = a$.

La Sustracción en el Conjunto de Números Naturales (N)

La sustracción no está siempre definida en N, ya que es la función que asocia la diferencia $a – b$ a un par de números naturales, con la condición de que $a \geq b$.

Características de la Sustracción

• La sustracción NO es asociativa. Contraejemplo: $231 – (56 – 3) \neq (231 – 56) – 3$.
• La sustracción NO es conmutativa. Cuando $a – b$ está definida, $b – a$ no lo está, salvo que $a = b$.
• El 0 es el elemento neutro a la derecha ($a – 0 = a$), pero NO lo es a la izquierda ($0 – a$ no está definida en N).

Relación con el Orden y Reciprocidad

La sustracción SÍ es compatible con el orden de los números naturales:

• Si $a \leq b$, entonces $a - c \leq b – c$.
• Si $a \leq b$ y $c \leq d$, entonces $a - c \leq b – d$.

La sustracción y la adición son operaciones recíprocas: Si $a = b + c$, entonces $a – b = c$ o $a – c = b$.

Transición a los Números Enteros (Z)

En el conjunto de los números enteros (Z), la adición y la sustracción son dos partes de la misma operación ($+$), que es asociativa y conmutativa. En Z, todo elemento tiene siempre un opuesto.

El Campo Conceptual de las Estructuras Aditivas

Un campo conceptual es una noción que conecta conocimientos específicos y destrezas con la resolución de problemas. Esta noción, atribuida a Vergnaud, se define como un espacio de problemas o de situaciones-problema para cuyo tratamiento resulta necesario utilizar conceptos, procedimientos y representaciones de diferente tipo en estrecha conexión.

Importancia en la Aritmética Escolar

El campo conceptual de las estructuras aditivas es básico en la aritmética escolar, ya que comprende un conjunto de problemas que comportan operaciones aritméticas y nociones de tipo aditivo, como la adición y la sustracción.

Tradicionalmente, los problemas de estructura aditiva se han dividido en dos tipos: problemas de sumar y de restar. Se ha demostrado que el análisis global del significado del texto del problema es mucho más importante que el análisis hecho desde otros puntos de vista, especialmente para comprender los procesos utilizados por los niños para resolverlos.

Nota histórica: Ya en 1836, el Reglamento de las Escuelas Públicas de la época (el “Reglamento Montesinos”) hacía referencia a los “problemas del Reino”.

La Resolución de Problemas según Polya

Según Polya, la resolución de problemas tiene dos facetas: la investigadora y la docente. El problema matemático consta de un conjunto de premisas, cuyo análisis tiene como objetivo obtener una solución a partir de los datos dados.

Pasos para Resolver un Problema Matemático (Polya)

1. Comprender el problema: Distinguir datos, incógnita y resultado.
2. Concebir y desarrollar un plan de solución: Relacionar los datos y la incógnita por medio de un procedimiento matemático.
3. Realizar el plan: Resolver las operaciones.
4. Revisar el problema completo: Verificar si la solución tiene sentido.

Tipos de Problemas

Se distingue entre problemas aplicados (relacionados con el mundo real) y puros (situación meramente matemática). En la Educación Primaria, los problemas deben enfocarse en los aplicados, ya que la contextualización es clave para su entendimiento.

Problemas Aritméticos Elementales Verbales (PAEVs)

Los PAEVs de una etapa son aquellos cuya resolución precisa solo de una operación aritmética.

Clasificación de Estructuras Operacionales

• Estructura Aditiva: La sustracción es la operación inversa a la adición.
• Estructura Multiplicativa: La división es la operación inversa a la multiplicación.