Fundamentos de Física Cuántica: Ecuaciones Clave del Modelo de Bohr y Constantes Físicas

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Escrito el 9 de Diciembre de 2025 en español con un tamaño de 7,85 KB

Compendio de Fórmulas y Constantes de la Estructura Atómica

Este documento resume las ecuaciones fundamentales, constantes físicas y postulados esenciales para la comprensión de la física atómica y la mecánica cuántica inicial.

I. Modelo Atómico de Bohr y Ecuaciones Clásicas

Postulado 1: Fuerzas y Energía

Relaciones fundamentales de fuerza y energía en una órbita electrónica:

Fuerza de Coulomb (Eléctrica): $F_e = \frac{Z e^2}{r^2}$
Velocidad al cuadrado: $v^2 = \frac{Z e^2}{m r}$
Energía Cinética: $E_c = \frac{Z e^2}{2 r}$
Energía Cinética (en función del número cuántico $n$): $E_c = \frac{Z e^2}{2 (0.529) n^2}$
Fuerza Centrípeta: $F_c = \frac{m v^2}{r}$

Postulado 2: Cuantización del Momento Angular y Radio

Cuantización del momento angular y expresiones para el radio y la velocidad del electrón:

Momento Angular Cuantizado: $m v r = \frac{n h}{2 \pi}$
Radio de la Órbita: $r = \frac{n^2 (0.529)}{Z}$
Velocidad del Electrón: $v = \frac{n h}{2 \pi m r}$

Postulado 3: Energía de la Órbita Estacionaria

Se fija la energía de un electrón en una órbita dada. Mientras el electrón se mueve en esta órbita, no absorbe ni emite energía.

Energía Total del Electrón: $E = - \frac{B Z^2}{n^2}$
Energía Potencial: $E_p = - \frac{Z e^2}{r}$

Postulado 4: Transiciones Electrónicas

Para cambiar de una órbita a otra, el electrón debe absorber o emitir una energía exactamente igual a la diferencia de energías entre las órbitas involucradas en esta transición electrónica.

II. Unidades, Constantes y Equivalencias Físicas

Constantes Fundamentales

Carga del Electrón ($e^-$): $1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ (Coulomb)
Carga del Electrón ($e^-$): $1.6 \times 10^{-10} \text{ ues}$ (Unidades Electrostáticas)
Masa del Electrón ($m_e$): $9.1 \times 10^{-28} \text{ g}$
Constante de Planck ($h$): $6.63 \times 10^{-27} \text{ ergio} \cdot \text{s} = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}$
Radio de Bohr ($a_0$): $0.53 \text{ Å} = 5.3 \times 10^{-9} \text{ cm}$
Constante de Rydberg ($B$ en energía): $13.6 \text{ eV} = 2.179 \times 10^{-11} \text{ ergios} = 2.179 \times 10^{-18} \text{ J} = 313.67 \text{ kcal/mol}$

Equivalencias de Unidades

$1 \text{ ues}^2 = \text{ergio} \cdot \text{cm}$
$\text{g} \cdot \text{cm}^2 / (\text{erg} \cdot \text{s}^2)$ (Unidad derivada)
$1 \text{ ergio} = \text{dina} \cdot \text{cm}$
$1 \text{ dina} = \text{g} \cdot \text{cm}/\text{s}^2$
$1 \text{ Joule} (\text{J}) = 1 \text{ Newton} (\text{N}) \cdot \text{m}$
$1 \text{ Newton} (\text{N}) = 1 \text{ kg} \cdot \text{m}/\text{s}^2$
$1 \text{ Caloría} (\text{Cal}) = 4.18 \text{ J}$
$1 \text{ nanómetro} (\text{nm}) = 1 \times 10^{-9} \text{ m}$
$1 \text{ J} = 10^7 \text{ ergios}$
$1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 1.6 \times 10^{-12} \text{ ergios}$
$1 \text{ Ångström} (\text{Å}) = 10^{-8} \text{ cm} = 10^{-10} \text{ m}$

III. Estructura Atómica, Pesos y Estequiometría

Iones Isoelectrónicos Comunes

Ejemplos de iones con estructura electrónica similar:

$_{2}\text{He}^{+1}$
$_{3}\text{Li}^{+2}$
$_{4}\text{Be}^{+3}$

Equivalencias Estequiométricas

$1 \text{ átomo-gramo} (\text{atg})$ o $1 \text{ mol} = 6.022 \times 10^{23} \text{ átomos/moléculas}$ (Número de Avogadro)
Peso Atómico / átomo-gramo ($PA/\text{atg}$)
Peso Molecular / mol ($PM/\text{mol}$)

Cargas y Pesos de Partículas Subatómicas

Carga Nuclear (CN): $Z \cdot (c_p)$
Carga Electrónica (CE): $Z \cdot (c_e) \cdot (-1)$
Carga del Protón ($c_p$): $4.8 \times 10^{-10} \text{ ues}$

Pesos (Masas)

Electrón ($e^-$): $9.1 \times 10^{-28} \text{ g}$
Protón ($p^+$): $1.67 \times 10^{-24} \text{ g}$
Neutrón ($n$): $1.67 \times 10^{-24} \text{ g}$ (Corregido el exponente)

Cálculos de Pesos y Composición

Peso Atómico Promedio: $\frac{(p_1 \cdot x_1) + (p_2 \cdot x_2)}{100}$ (donde $p$ es el peso isotópico y $x$ es el porcentaje de abundancia)
Composición Centesimal ($\% X_i$): $\frac{(\text{Número de átomos}) \cdot (PA)}{PM} \times 100$

IV. Mecánica Ondulatoria y Cuántica

Relaciones de Onda y Energía

Longitud de Onda ($\lambda$): $\lambda = c / \text{frecuencia} (f)$
Energía de un Fotón ($E$): $E = h c / \lambda$
Energía de un Fotón (frecuencia): $E = h \cdot f$

Valores de Constantes en Diferentes Unidades

Velocidad de la Luz ($c$): $3 \times 10^8 \text{ m/s}$, $3 \times 10^{10} \text{ cm/s}$, $3 \times 10^{18} \text{ Å/s}$
Constante de Planck ($h$): $6.63 \times 10^{-27} \text{ erg} \cdot \text{s}$, $6.63 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}$
Equivalencia de Energía: $1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-12} \text{ erg}$, $1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$

Series Espectrales del Hidrógeno

Transiciones electrónicas y regiones del espectro electromagnético:

Lyman: Nivel final $n=1$. Transiciones desde $n=2, 3, \dots$. Región: Ultravioleta (UV, $\lambda < 4000 \text{ Å}$).
Balmer: Nivel final $n=2$. Transiciones desde $n=3, 4, \dots$. Región: Visible ($4000 \text{ Å} - 7000 \text{ Å}$).
Paschen: Nivel final $n=3$. Transiciones desde $n=4, 5, \dots$. Región: Infrarrojo (IR, $\lambda > 7000 \text{ Å}$).
Brackett: Nivel final $n=4$. Transiciones desde $n=5, 6, \dots$.
Pfund: Nivel final $n=5$. Transiciones desde $n=6, 7, \dots$.

Espectro Visible (Rangos de Longitud de Onda)

Nota: Los rangos se presentan en unidades relativas (posiblemente $\times 10 \text{ nm}$ o $\times 100 \text{ Å}$).

Rojo: $70-65$
Naranja: $65-59$
Amarillo: $59-57$
Verde: $57-49$
Azul: $49-42$
Violeta: $42-40$

Dualidad Onda-Partícula y Principios Cuánticos

Cantidad de Movimiento ($p$): $p = m \cdot c$
Cantidad de Movimiento (De Broglie): $p = h / \lambda$
Relación Masa-Energía: $E = m c^2$
Longitud de Onda Asociada (De Broglie): $\lambda_{\text{asociada}} = h / m v$
Condición de Onda Estacionaria de Bohr: $2 \pi r = n \cdot \lambda_{\text{asociada}}$

Principio de Incertidumbre de Heisenberg

La incertidumbre en la velocidad ($\Delta V$) y la incertidumbre en la posición ($\Delta X$) están relacionadas:

$\Delta V \cdot \Delta X \ge \frac{h}{4 \pi m}$

Ecuación de Schrödinger y Orbitales

La función de onda ($\Psi$) se descompone en componentes:

$\Psi = \text{Radial} \cdot \text{Angular}$
Función de Distribución Radial (FDR): $\text{FDR} = 4 \pi r^2 (\text{Radial})^2$

Coordenadas Cartesianas a Esféricas

$x = r \sin \theta \cos \phi$
$y = r \sin \theta \sin \phi$
$z = r \cos \theta$

Nodos y Orbitales

Nodos Radiales ($N_R$): $n - l - 1$
Nodos Totales ($N_T$): $n - 1$
Picos en FDR: $n - l$
Nodos Angulares ($N_A$): $l$

Funciones Angulares de Orbitales $d$ (Ejemplos)

Nota: $k$ representa una constante de normalización.

$d_{xy}: k \sin^2 \theta \sin 2\phi$
$d_{yz}: k \sin \theta \sin \phi \cos \theta$
$d_{z^2}: k (\cos^2 \theta - 1)$
$d_{xz}: k \sin \theta \cos \phi \cos \theta$
$d_{x^2-y^2}: k \sin^2 \theta \cos 2\phi$

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