Fundamentos de Física: Movimiento Armónico, Ondas y Gravitación Universal

Movimiento Armónico Simple (MAS): Fundamentos y Fórmulas Clave

Teoría del MAS

• Fuerza Conservativa: Es aquella cuyo trabajo para trasladar una partícula de un punto a otro depende únicamente de la posición inicial y final.
• Ley de Hooke (Fuerza Restauradora): $\mathbf{F} = -K\mathbf{x}$

Ecuaciones Cinemáticas del MAS

Las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración (asumiendo fase inicial $\phi$):

• Posición: $x(t) = A \cdot \text{sen}(\omega t + \phi)$
• Velocidad: $v(t) = A\omega \cdot \text{cos}(\omega t + \phi)$
• Aceleración: $a(t) = -A\omega^2 \cdot \text{sen}(\omega t + \phi)$

Valores Máximos

• Aceleración Máxima ($a_{max}$): $a_{max} = A\omega^2$
• Velocidad Máxima ($V_{max}$): $V_{max} = \pm A\omega$

Energía y Constantes

• Energía Cinética ($E_c$): $E_c = \frac{1}{2}mv^2$ o $E_c = \frac{1}{2}K(A^2 - x^2)$
• Energía Potencial Elástica ($E_p$): $E_p = \frac{1}{2}Kx^2$
• Energía Mecánica Total ($E_m$): $E_m = \frac{1}{2}KA^2$
• Constante Elástica ($K$): $K = m\omega^2$
• Frecuencia Angular ($\omega$): $\omega = 2\pi/T$

Caso Específico: Péndulo Simple

• Periodo ($T$): $T = 2\pi\sqrt{L/g}$

Representación Alternativa (Usando Coseno)

Si la fase inicial es diferente, las ecuaciones pueden ser:

• $x(t) = A \cdot \text{cos}(\omega t + \phi)$
• $v(t) = -A\omega \cdot \text{sen}(\omega t + \phi)$
• $a(t) = -A\omega^2 \cdot \text{cos}(\omega t + \phi)$

Movimiento Ondulatorio (MO): Tipos, Propagación y Fenómenos

Conceptos Fundamentales de Ondas

• Onda: Es toda perturbación que transporta energía sin propagar masa.
• Pulso: Es la perturbación que se transmite a través de la cuerda.
• Frente de Ondas: Es la línea que une dos puntos que, en el mismo instante, se encuentran en el mismo estado de vibración (es decir, que están en fase).

Clasificación de Ondas

Según el Medio

• Ondas Mecánicas: Necesitan un medio material para propagarse (ej. el sonido).
• Ondas Electromagnéticas: No necesitan medio material para propagarse (ej. la luz).

Según la Dirección de Vibración

• Onda Longitudinal: La dirección de propagación coincide con la dirección de vibración.
• Onda Transversal: La dirección de vibración es perpendicular a la de propagación.

Principios y Fenómenos Ondulatorios

• Principio de Huygens: La onda avanza de tal forma que cada punto de un frente de ondas puede considerarse un foco secundario de nuevas ondas, cuya envolvente es un nuevo frente de ondas.

Reflexión

Es un fenómeno que se produce cuando una onda choca con un obstáculo y experimenta un cambio de sentido y dirección, volviendo por el mismo medio.

Leyes de la Reflexión:

1. El ángulo incidente, el ángulo reflejado y la normal se encuentran en el mismo plano.
2. El ángulo incidente y el ángulo reflejado son iguales: $\alpha_i = \alpha_r$.

Refracción

Es el fenómeno en el que hay un cambio de dirección y velocidad experimentado por una onda al pasar de un medio a otro.

Leyes de la Refracción:

1. El ángulo de incidencia, el ángulo refractado y la normal se encuentran en el mismo plano.
2. Ley de Snell: La relación existente entre el seno del ángulo incidente y el seno del ángulo refractado es la misma que la existente entre las velocidades de propagación de las ondas.

Reflexión Total

Se produce cuando el ángulo de incidencia es mayor que el ángulo límite, momento en el que se pasa de la refracción a la reflexión.

Ondas Estacionarias y Fórmulas Generales

Una Onda Estacionaria es la superposición de dos ondas idénticas que se propagan en el mismo medio, en la misma dirección y con sentidos contrarios.

Fórmulas de Ondas Viajeras

• Ecuación de Onda: $y(x,t) = A \cdot \text{sen}(kx \pm \omega t)$
• Velocidad de Partícula: $v(x,t) = \pm A\omega \cdot \text{cos}(Kx \pm \omega t + \phi)$
• Velocidad de Propagación ($V_{prop}$): $V_{prop} = \lambda/T$
• Frecuencia Angular ($\omega$): $\omega = 2\pi F$
• Número de Onda ($k$): $k = 2\pi/\lambda$ o $k = \omega/V$

Energía en Ondas Viajeras

• $E_c = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 \cdot \text{cos}^2(kx - \omega t)$
• $E_p = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2 \cdot \text{sen}^2(kx - \omega t)$
• $E_m = \frac{1}{2}m(2\pi F)^2 A^2$

Ecuaciones de Ondas Estacionarias

• Ecuación de Desplazamiento: $Y(x,t) = 2A \cdot \text{sen}(kx) \cdot \text{cos}(\omega t)$
• Velocidad de Vibración ($V_v$): $V_v = -2A\omega \cdot \text{sen}(kx) \cdot \text{sen}(\omega t)$

Modos Normales de Vibración (Armónicos)

Cuerda Fija por un Extremo (Tubos Cerrados)

Frecuencias permitidas ($f = nV/4L$, donde $n$ es impar):

• $n=1$ (Modo Fundamental): $f = V/4L$ (1 vientre, 1 nodo). $\lambda = 4L$.
• $n=3$ (Tercer Armónico): $f = 3V/4L$ (2 nodos, 2 vientres). $\lambda = 4L/3$.
• $n=5$ (Quinto Armónico): $f = 5V/4L$ (3 nodos, 3 vientres). $\lambda = 4L/5$.

Cuerda Fija por Dos Extremos (Tubos Abiertos)

Frecuencias permitidas ($f = nV/2L$, donde $n$ es entero):

• $n=1$ (Modo Fundamental): $f = V/2L$ (1 vientre, 2 nodos). $\lambda = 2L$.
• $n=2$ (Segundo Armónico): $f = V/L$ (2 vientres, 3 nodos). $\lambda = L$.
• $n=3$ (Tercer Armónico): $f = 3V/2L$ (3 vientres, 4 nodos). $\lambda = 2L/3$.

Acústica: El Sonido

• Velocidad de Propagación en Gases ($V_{prop}$): $V_{prop} = \sqrt{\gamma \cdot R \cdot T / M_m}$
• Sonoridad (Nivel de Intensidad $B$): $B = 10 \cdot \text{log}_{10}(I/I_0)$ (en decibelios, dB).
• Intensidad de Referencia ($I_0$): $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$.
• Intensidad ($I$): $I = P / 4\pi R^2$.

Gravitación Universal y Momento Angular

Ley de Gravitación Universal

La fuerza de atracción entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

$$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

Momento Angular

El momento angular ($\mathbf{L}$) respecto de un punto es el producto vectorial del vector de posición ($\mathbf{r}$) y el momento lineal ($\mathbf{p}$):

$$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$$