Fundamentos de Fracciones y Números Racionales: Conceptos y Operaciones Esenciales

Introducción a las Fracciones

Un principio fundamental: Mientras menor sea el denominador, mayor será la fracción.

Definición de Fracción

Una fracción representa las partes que se toman de un todo y se expresa de la forma a/b; donde 'a' pertenece a los números enteros y 'b' a los enteros no nulos (Z*).

Clasificación de Fracciones

• Unidad: El numerador es igual al denominador (a/a = 1).
• Propias: El numerador es menor que el denominador (a < b).
• Impropias: El numerador es mayor que el denominador (a > b).
• Nulas: El numerador es cero (a = 0).
• Decimales: El denominador es una potencia de 10 (ej. a/10, a/100).

Conversión de Fracciones

De Fracciones Mixtas a Impropias

Para convertir una fracción mixta a impropia, se multiplica la parte entera por el denominador y se le suma el numerador, manteniendo el mismo denominador.

Ejemplo: 4 1/2 = (4 × 2 + 1) / 2 = 9/2.

De Fracciones Impropias a Mixtas

Para convertir una fracción impropia a mixta, se divide el numerador entre el denominador. El cociente es la parte entera, el resto es el nuevo numerador, y el divisor es el denominador.

Ejemplo: 9/2. Se divide 9 entre 2, lo que da un cociente de 4 y un resto de 1. Así, 9/2 = 4 1/2.

Fracciones Equivalentes

Las fracciones equivalentes representan la misma cantidad, aunque tengan numeradores y denominadores diferentes.

Método del Producto Cruzado

Para verificar si dos fracciones son equivalentes, se puede usar el producto cruzado. Si a/b = c/d, entonces a × d = b × c.

Conceptos Clave en Operaciones

Mínimo Común Múltiplo (MCM)

Para dos enteros 'a' y 'b', el MCM es el menor de los múltiplos positivos comunes a ambos. Se obtiene multiplicando los factores primos comunes y no comunes, cada uno elevado a su mayor exponente.

Máximo Común Divisor (MCD)

Para dos enteros 'a' y 'b', el MCD es el mayor de sus divisores comunes. Se obtiene multiplicando solo los factores primos comunes, cada uno elevado a su menor exponente.

Números Racionales (Q)

Definición de Números Racionales

Los números racionales (Q) son todos aquellos números que pueden ser expresados como una fracción a/b, donde 'a' es un entero y 'b' es un entero no nulo. Representan un conjunto de fracciones equivalentes.

Subconjuntos de Números Racionales

• Q+: Números racionales positivos.
• Q-: Números racionales negativos.
• Q*: Números racionales no nulos (excluyendo el cero).

Orden en Q

Para comparar números racionales, se utilizan los siguientes símbolos:

• ≤ (menor o igual que)
• ≥ (mayor o igual que)

Operaciones con Números Racionales

Suma y Resta de Racionales

Con el mismo denominador

Cuando dos o más racionales tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se mantiene el denominador común.

Ejemplo: 2/5 + 8/5 = 10/5 = 2/1 = 2.

Con distintos denominadores

Para sumar o restar racionales con distintos denominadores, se debe encontrar un denominador común, generalmente el MCM de los denominadores.

Ejemplo: 5/3 + 1/7. Se puede utilizar el producto cruzado o el MCM de los denominadores (21).

Más de 2 racionales con diferente denominador

Para operar con múltiples racionales de diferente denominador, el primer paso es hallar el MCM de todos los denominadores.

Ejemplo de fracciones: 1/5, 7/4, 2/10, 1/20, 5/2

MCM de los denominadores (5, 4, 2, 10, 20, 2) = 20.

Importante: Para cada fracción, se divide el MCM por su denominador y el resultado se multiplica por su numerador.

Ejemplo de operación para la primera fracción: (20 ÷ 5) × 1 = 4.

Suma Algebraica de Números Racionales

Mismo denominador

La suma algebraica de números racionales que tienen el mismo denominador es un número racional cuyo numerador es la suma algebraica de los numeradores y cuyo denominador es el denominador común.

Diferente denominador

Para la suma algebraica con diferente denominador, se sigue el mismo procedimiento de encontrar el MCM y ajustar los numeradores.

Ejemplo:

3/2 + 4/9 - 7/3 - 5/27

MCM(2, 9, 3, 27) = 54

= ( (54÷2)×3 + (54÷9)×4 - (54÷3)×7 - (54÷27)×5 ) / 54

= ( 81 + 24 - 126 - 10 ) / 54

= ( 105 - 136 ) / 54

= -31/54

Nota: 54 ÷ 2 × 3 (posiblemente una operación auxiliar o un paso intermedio en la factorización del MCM).

Propiedades de la Adición en Q

La adición de números racionales cumple con propiedades como la conmutativa, asociativa, existencia de elemento neutro (0) y elemento opuesto.

• Con igual denominador
• Con diferente denominador

Operaciones Combinadas con Racionales

Al realizar operaciones combinadas, se debe seguir el orden de las operaciones (paréntesis, exponentes, multiplicación/división, suma/resta).

Ejemplo 1:

1 - ( 9/20 + 2/5 )

= 1 - ( (9 + (20÷5)×2) / 20 )

= 1 - ( (9 + 8) / 20 )

= 1 - (17/20)

= (20 - 17) / 20

= 3/20

Otra manera de resolver (distribuyendo el signo negativo):

1 - 9/20 - 2/5

= ( (20×1) - 9 - ((20÷5)×2) ) / 20

= ( 20 - 9 - 8 ) / 20

= ( 20 - 17 ) / 20

= 3/20

Ecuaciones en Q

Para resolver ecuaciones con números racionales, el objetivo es despejar la incógnita 'x'.

Ejemplo:

x + 1/2 = 3/4

Para despejar 'x', restamos 1/2 a ambos lados de la ecuación:

x + 1/2 - 1/2 = 3/4 - 1/2

x = 3/4 - 2/4

x = 1/4

Consejo para resolver ecuaciones: Pregúntate, ¿qué operación 'molesta' a la 'x'? ¿Qué se le está haciendo? Para resolver, a menudo es necesario sacar el MCM de los denominadores y luego multiplicar o dividir las fracciones según sea necesario para despejar la incógnita.