Fundamentos de la Función Cuadrática: Propiedades de la Parábola y Coeficientes A, B, C

Función Cuadrática: Conceptos Fundamentales y Representación Gráfica

La función cuadrática es una función polinómica de segundo grado, cuya forma general es:

$F(x) = Ax^2 + Bx + C$

Donde $A$, $B$ y $C$ son números reales, y es fundamental que $A \neq 0$. Si $A$ fuera cero, la función se reduciría a una función lineal.

Componentes de la Función Cuadrática

En la expresión $Y = Ax^2 + Bx + C$, los términos reciben los siguientes nombres:

• Término Cuadrático: $Ax^2$
• Término Lineal: $Bx$
• Término Independiente: $C$ (Este valor corresponde a la ordenada al origen, es decir, el punto donde la gráfica interseca el eje $Y$).

Representación Gráfica: La Parábola

La representación gráfica de una función cuadrática es una curva simétrica denominada parábola.

Propiedades Clave de los Coeficientes (A, B y C)

Los coeficientes $A$, $B$ y $C$ determinan la forma, orientación y posición de la parábola en el plano cartesiano.

Efecto del Coeficiente A (Término Cuadrático)

El coeficiente $A$ define la concavidad y la apertura de la parábola:

• Si $A > 0$: La parábola se abre hacia arriba (cóncava hacia arriba).
• Si $A < 0$: La parábola se abre hacia abajo (cóncava hacia abajo).

El valor absoluto de $A$, denotado como $|A|$, determina la apertura:

• Si $0 < |A| < 1$: La parábola es más ancha (se abre).
• Si $|A| > 1$: La parábola es más estrecha (se cierra).

Efecto del Coeficiente C (Término Independiente)

El coeficiente $C$ provoca un desplazamiento vertical de la gráfica:

• Si $C > 0$: La gráfica se desplaza hacia arriba.
• Si $C < 0$: La gráfica se desplaza hacia abajo.

Efecto Combinado de A y B (Posición del Vértice)

La relación entre los signos de $A$ y $B$ influye en la posición horizontal del vértice de la parábola:

• Si $A$ y $B$ tienen el mismo signo: El vértice se desplaza hacia la izquierda del eje $Y$.
• Si $A$ y $B$ tienen distinto signo: El vértice se desplaza hacia la derecha del eje $Y$.

¿Qué son las Raíces de una Función Cuadrática?

Las raíces (o ceros) de una función cuadrática son los valores de $x$ para los cuales $F(x) = 0$.

Gráficamente, las raíces son los puntos de intersección de la parábola con el eje $X$ (el eje de abscisas). Es decir, son los lugares donde la gráfica corta al eje $X$.