Fundamentos de Funciones Exponenciales, Logarítmicas, Progresiones y Creación de Blogs

Función Exponencial

Forma general: f(x) = a^x

Condiciones: Base a > 0 y a ≠ 1.

Propiedades

• El dominio consiste en todos los números reales (ℝ).
• El rango consta de todos los números reales positivos (ℝ⁺, es decir, y > 0).
• La función es creciente si a > 1.
• La función es decreciente si 0 < a < 1.
• La curva es siempre cóncava hacia arriba.
• Es una función uno a uno (inyectiva o biunívoca en su rango).

Resolución de Ecuaciones Exponenciales y Propiedades de Exponentes

Para resolver ecuaciones donde la incógnita está en el exponente, un método es igualar las bases: Si a^x = a^y, entonces x = y (aprovechando que la función exponencial es uno a uno).

Propiedades clave de los exponentes:

• Producto de potencias de igual base: a^x * a^y = a^x+y
• Cociente de potencias de igual base: a^x / a^y = a^x-y
• Potencia de una potencia: (a^x)^y = a^xy

Función Logarítmica

Definición: y = log_b(x) si y solo si b^y = x.

Condiciones: Base b > 0, b ≠ 1 y argumento x > 0.

'y' es el exponente al que se debe elevar la base 'b' para obtener el número 'x'.

Propiedades

• El dominio consiste en todos los números reales positivos (x > 0).
• El rango consiste en todos los números reales (ℝ).
• La curva es creciente si la base b > 1.
• La curva es decreciente si 0 < b < 1.
• La curva es cóncava hacia abajo si b > 1.
• La curva es cóncava hacia arriba si 0 < b < 1.
• Es una función biunívoca (uno a uno).

Leyes de los Logaritmos

Sean M y N números positivos, con base b > 0 y b ≠ 1:

• Ley del Producto: log_b(M * N) = log_b(M) + log_b(N)
• Ley del Cociente: log_b(M / N) = log_b(M) - log_b(N)
• Ley de la Potencia: log_b(M^k) = k * log_b(M)
• Ley del Cambio de Base: log_a(N) = log_b(N) / log_b(a) (Permite cambiar de una base 'a' a una base 'b', útil para calculadoras que solo tienen logaritmo decimal o neperiano).

Una consecuencia de la inyectividad es: Si log_b(x₁) = log_b(x₂), entonces x₁ = x₂.

Progresiones

Una progresión es una sucesión de términos formados siguiendo una regla o propiedad determinada. Las más comunes son las progresiones aritméticas y las progresiones geométricas.

Progresiones Aritméticas

En una progresión aritmética, cada término (excepto el primero) se obtiene sumando al término anterior un número real constante llamado diferencia (d) o razón aritmética (r).

Notación Común

• a₁ (o a): Primer término de la progresión.
• a_n (o u): Valor numérico del término n-ésimo (el término en la posición 'n').
• r (o d): Razón o diferencia constante.
• n: Lugar o posición que ocupa el término (n ≥ 1).

Fórmulas Principales

• Cálculo del término n-ésimo: a_n = a₁ + (n-1)r
• Cálculo del primer término: a₁ = a_n - (n-1)r
• Cálculo de la razón: r = (a_n - a₁) / (n-1) (para n > 1)
• Cálculo del número de términos: n = (a_n - a₁) / r + 1 (si r ≠ 0)

Nota: El texto original mencionaba progresiones geométricas pero no las desarrollaba.

Blogs

Un blog (contracción de web log) es una página web, a menudo de carácter personal o temático, con una estructura cronológica inversa (las entradas más recientes aparecen primero). Se actualiza regularmente para tratar sobre un tema concreto o compartir ideas y experiencias.

Herramientas para Crear Blogs

Existen diversas plataformas y herramientas para crear y gestionar blogs, muchas de ellas gratuitas (como Blogger, WordPress.com) y fáciles de utilizar. Generalmente, solo requieren una dirección de correo electrónico para empezar.

Características Diferenciales

• Publicación periódica de contenidos en forma de artículos, posts o entradas.
• Admite comentarios de los lectores, fomentando la interacción y la creación de una comunidad.
• Suele tener un marcado carácter personal o un enfoque temático bien definido.

Características Técnicas

• Las entradas suelen incluir enlaces (hipervínculos) a otras páginas web, fuentes o recursos relacionados.
• Permiten integrar contenido multimedia como fotografías y vídeos. Los blogs especializados en estos formatos se denominan fotoblogs y videoblogs (vlogs), respectivamente.

Característica Social

• Aunque a menudo es personal, un blog también puede ser corporativo, parte de un medio de comunicación digital o mantenido por varios autores.
• La actualización frecuente y la posibilidad de interacción lo convierten en una herramienta social para conectar con personas con intereses similares.

Pasos para Crear un Blog (Ejemplo con Blogger)

El proceso puede variar ligeramente según la plataforma, pero los pasos básicos suelen ser:

1. Crear una cuenta / Iniciar Sesión: Visita la plataforma elegida (ej. www.blogger.com) y regístrate o inicia sesión. Blogger requiere una cuenta de Google. Se te pedirán datos básicos y aceptar los términos del servicio.
2. Asignar Nombre y Dirección: Elige un título atractivo y descriptivo para tu blog. Selecciona una dirección web (URL) única (ej. minuevoblog.blogspot.com) que la gente usará para visitarlo.
3. Elegir una Plantilla: Selecciona un diseño inicial o plantilla (theme) para la apariencia de tu blog. La mayoría de las plataformas ofrecen varias opciones gratuitas y permiten personalizarla o cambiarla más adelante.

Una vez completados estos pasos, tu blog estará creado y listo para empezar a publicar contenido.

Resumen de Fórmulas y Conceptos Clave

• Función Exponencial: f(x) = a^x (a>0, a≠1)
• Función Logarítmica: y = log_b(x) <=> b^y = x (b>0, b≠1, x>0)
• Propiedades de Exponentes: a^x * a^y = a^x+y; a^x / a^y = a^x-y; (a^x)^y = a^xy
• Propiedad de Inyectividad (Exponencial): Si a^x = a^y => x = y
• Propiedad de Inyectividad (Logarítmica): Si log_b(x₁) = log_b(x₂) => x₁ = x₂
• Leyes de Logaritmos: Producto, Cociente, Potencia, Cambio de Base.
• Progresión Aritmética (Término n-ésimo): a_n = a₁ + (n-1)r