Fundamentos de Funciones Lineales y Estadística Descriptiva Unidimensional

Funciones Lineales: Definición y Representación Gráfica

Las funciones lineales son aquellas funciones que se pueden definir utilizando la igualdad: $y = mx + n$. En esta expresión, $m$ representa la pendiente de la recta y $n$ es la ordenada al origen (el punto de corte con el eje Y).

La representación gráfica de una función lineal es una recta oblicua que puede dibujarse a partir de dos de sus puntos.

Ejemplo de Representación Gráfica

Consideremos la función definida por la igualdad $y = \frac{1}{2}x + 1$. Para dibujar su representación gráfica, basta con obtener dos de sus puntos:

• Si $x=0$: $y = \frac{1}{2} \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1$. El punto es (0, 1).
• Si $x=2$: $y = \frac{1}{2} \cdot 2 + 1 = 1 + 1 = 2$. El punto es (2, 2).

Ejercicio Práctico: Determinación de la Ecuación de la Recta

1) Halle la igualdad con la que puede definirse la función lineal cuya representación gráfica es la recta de la imagen. Sea $y = mx + n$ la igualdad buscada. Como los puntos (0, 0) y (3, 2) pertenecen a su representación gráfica, se tienen que verificar las siguientes igualdades:

Al sustituir los puntos en la ecuación $y = mx + n$, obtenemos un sistema de ecuaciones:

• Para (0, 0): $0 = m(0) + n \implies n = 0$
• Para (3, 2): $2 = m(3) + n$

De la primera ecuación se deduce que $n = 0$. Sustituyendo $n$ por 0 en la segunda ecuación, se deduce que $3m = 2$, y por lo tanto, $m = \frac{2}{3}$. Sustituyendo $m$ y $n$ por los valores obtenidos, se deduce que la igualdad buscada es $y = \frac{2}{3}x$.

Estadística Unidimensional: Conceptos Fundamentales

La estadística unidimensional se centra en el estudio de una sola variable.

Designación de Datos y Frecuencias

En un estudio estadístico, los datos se designan como $x_1, x_2, \dots, x_n$.

• Frecuencia Absoluta ($f_i$): La frecuencia absoluta de un dato es el número de veces que este se repite.
• Designación de las Frecuencias Absolutas: Las frecuencias absolutas de los datos $x_1, x_2, \dots$ son, respectivamente, $f_1, f_2, \dots, f_n$.

Medidas de Centralización y Dispersión

Media Aritmética ($\bar{x}$)

La media de los datos se designa por:

=

Varianza ($\sigma^2$)

La varianza se designa por $\sigma^2$ y se define por la siguiente fórmula:

$\sigma^2$ =

Desviación Típica ($\sigma$)

La desviación típica se designa por $\sigma$ y se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza: $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$.

Cálculo Práctico de la Varianza

En la práctica, la varianza se calcula por la siguiente fórmula, con la que se obtiene el mismo valor que con la fórmula que la define, pero que requiere cálculos más simples:

$\sigma^2$ =

Ejemplo de Cálculo de Medidas Estadísticas

En una encuesta realizada a 110 matrimonios, se registraron las respuestas sobre el número de hijos. A continuación, se presenta la tabla de frecuencias para calcular la media, la varianza y la desviación típica.

Los números que figuran en la última fila son la suma de todos los números de la columna correspondiente. A partir de estos totales, se procede al cálculo:

Cálculo de la Media Aritmética

MEDIA ($\bar{x}$):

$$\bar{x} = \frac{261}{110} \approx 2.37$$

Cálculo de la Varianza

Utilizando la fórmula simplificada $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i)^2 f_i}{N} - (\bar{x})^2$:

Varianza ($\sigma^2$):

$\sigma^2$ = $ - 2.37^2 = 6.8818 - 5.6169 = 1.2649$

Cálculo de la Desviación Típica

La desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza:

DESVIACIÓN TÍPICA ($\sigma$):

$\sigma =$

$$\sigma = \sqrt{1.2649} \approx 1.1247$$