Fundamentos de Funciones y Logaritmos: Conceptos Clave en Matemáticas

Relación Matemática

Una relación es una asociación entre los elementos de un conjunto (o entre elementos de dos o más conjuntos).

Función

Una función es una relación donde cada elemento del conjunto de partida (dominio) tiene una única imagen en el conjunto de llegada (codominio).

Función Inyectiva (Uno a Uno)

Una función es inyectiva si y solo si dos elementos cualesquiera distintos del dominio tienen imágenes distintas en el conjunto de llegada (o rango de la función).

Función Sobreyectiva (Sucesiva)

Una función es sobreyectiva si y solo si el rango de la función es igual al conjunto de llegada (codominio).

Función Real

Sea $A$ un conjunto cualquiera y $B$ un subconjunto de los números reales. Se denomina función real a la expresión $f: A \to B$. En el caso de que $A$ y $B$ sean subconjuntos de los números reales, se le denominará función real de una variable real.

Tipos de Funciones Reales

Función Afín

Una función afín es una función real de variable real definida por la relación:

donde $m$ y $b$ son números reales.

Función Cuadrática

Una función cuadrática es una función real de variable real definida por la expresión:

con $a, b, c$ números reales y $a$ distinto de cero ($a \neq 0$). La gráfica de esta función es una parábola. La recta que divide la parábola en partes iguales se denomina eje de simetría.

Función Exponencial

Una función exponencial es una función definida por la relación $f(x) = $

donde $a$ es mayor que cero ($a > 0$) y $x$ es cualquier número real.

Logaritmos

Definición de Logaritmo

El logaritmo de un número es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número.

Características de los Logaritmos

Sistemas de Logaritmos

Los sistemas de logaritmos están conformados por distintas bases, pero estas deben ser siempre positivas.

1. En cualquier sistema de logaritmos, el logaritmo de 1 es 0.
2. En cualquier sistema de logaritmos, el logaritmo de la base es 1.
3. No existen logaritmos de números negativos.
4. La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa porque, al generar resultados positivos y negativos, no todos los números tendrían logaritmo.
5. Si el número dado es mayor que 1, el logaritmo es mayor que 0.
6. Números menores que 1 y mayores que 0 (es decir, $0 < x < 1$) tienen logaritmos negativos.

Propiedades Fundamentales de los Logaritmos

Logaritmo de un Producto

El logaritmo de dos o más factores es igual a la suma de los logaritmos de cada factor.

Logaritmo de un Cociente

Es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

Logaritmo de una Potencia

Es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

Logaritmo de un Radical

Es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre el índice del radical.

Cologaritmo

El cologaritmo de un número es el logaritmo del inverso multiplicativo de dicho número (o el logaritmo de su recíproco).

Cambio de Base Logarítmica

El logaritmo de $A$ en base $N$ es igual al logaritmo decimal (o vulgar) del número $A$ dividido entre el logaritmo decimal (o vulgar) de $N$.