Fundamentos de Geometría Analítica: Posiciones, Distancias y Cálculos en el Espacio

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Geometría Analítica: Posiciones Relativas, Distancias y Procedimientos Clave

Este documento resume conceptos fundamentales y procedimientos esenciales de la geometría analítica en el espacio, abordando la posición relativa entre elementos geométricos, el cálculo de distancias y la determinación de elementos específicos.

Posición Relativa entre Elementos Geométricos

Posición Relativa de Dos Rectas

Para determinar la posición relativa de dos rectas, r y s, se utilizan las matrices de coeficientes y la matriz ampliada de sus ecuaciones. Sea A la matriz formada por los vectores directores de las rectas (Vr, Vs) y A* la matriz ampliada que incluye también el vector que une un punto de r con un punto de s (PsPr).

  • Rectas que se cruzan: Si el rango de A es 2 y el rango de A* es 3 (rg(A)=2, rg(A*)=3).
  • Rectas secantes (se cortan en un punto): Si el rango de A es 2 y el rango de A* es 2 (rg(A)=2, rg(A*)=2).
  • Rectas paralelas: Si el rango de A es 1 y el rango de A* es 2 (rg(A)=1, rg(A*)=2).
  • Rectas coincidentes: Si el rango de A es 1 y el rango de A* es 1 (rg(A)=1, rg(A*)=1).

Nota: En un contexto de una matriz de 4 filas (posiblemente incluyendo los puntos y vectores directores de ambas rectas), las condiciones de rango pueden presentarse como:

  • Se cruzan: rg(A)=3, rg(A*)=4.
  • Secantes: rg(A)=3, rg(A*)=3.
  • Paralelas: rg(A)=2, rg(A*)=2.
  • Coincidentes: rg(A)=2, rg(A*)=2. (Esta última es una posible ambigüedad en la notación original, se asume que se refiere a un contexto específico de matriz).

Posición Relativa de una Recta y un Plano

Para una recta y un plano, se comparan los rangos de la matriz de coeficientes (A) y la matriz ampliada (A*) del sistema formado por sus ecuaciones:

  • Recta secante al plano: Si rg(A)=3 y rg(A*)=3.
  • Recta paralela al plano: Si rg(A)=2 y rg(A*)=3.
  • Recta contenida en el plano: Si rg(A)=2 y rg(A*)=2.

Posición Relativa de Tres Planos

Para tres planos, se analizan los rangos de la matriz de coeficientes (A) y la matriz ampliada (A*) del sistema de sus ecuaciones:

  • Secantes en un punto: Si rg(A)=3 y rg(A*)=3.
  • Secantes dos a dos (formando un haz de planos paralelos o dos planos paralelos cortados por un tercero): Si rg(A)=2 y rg(A*)=3.
  • Secantes y distintos (formando una recta común) o dos coincidentes y uno secante: Si rg(A)=2 y rg(A*)=2.
  • Planos paralelos distintos dos a dos: Si rg(A)=1 y rg(A*)=2.
  • Planos coincidentes: Si rg(A)=1 y rg(A*)=1.

Cálculo de Distancias en Geometría Analítica

Distancia entre Rectas

  • Rectas secantes: La distancia es 0.
  • Rectas paralelas: La distancia se calcula como la distancia de un punto cualquiera de una de las rectas a la otra recta.
  • Rectas que se cruzan: La distancia se calcula mediante la fórmula:

    dist(r,s) = | (PrPs ⋅ (Vr × Vs)) | / | Vr × Vs |

    Donde PrPs es el vector que une un punto de la recta r con un punto de la recta s, Vr es el vector director de r, y Vs es el vector director de s. El numerador es el valor absoluto del producto mixto y el denominador es el módulo del producto vectorial.

Distancia de un Punto a un Plano

Para un punto P(x0, y0, z0) y un plano con ecuación general Ax + By + Cz + D = 0, la distancia se calcula como:

dist(P, Plano) = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A2 + B2 + C2)

Distancia entre Dos Planos

Sean n y n' los vectores normales de los planos:

  • Si n no es paralelo a n' (los planos se cortan), su distancia es 0.
  • Si n es paralelo a n' (los planos son paralelos o coincidentes), se toma un punto P de uno de los planos (por ejemplo, π) y se calcula la distancia de ese punto P al otro plano (π'). Es decir, dist(π, π') = dist(P, π').

Procedimientos y Cálculos Específicos

Recta Perpendicular Común a Dos Rectas (r y s)

  1. Calcular el plano π que es paralelo a la recta s y que contiene a la recta r.
  2. Calcular el plano α1 que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π.
  3. Calcular el plano α2 que contiene a la recta s y es perpendicular al plano π.
  4. La recta perpendicular común es la intersección de los planos α1 y α2.

Recta que Pasa por un Punto P y Corta Perpendicularmente a una Recta r

  1. Calcular el plano π que pasa por el punto P y es perpendicular a la recta r.
  2. Resolver el sistema formado por las ecuaciones de la recta r y el plano π para obtener el punto de intersección S.
  3. La recta pedida es la que pasa por los puntos P y S.

Recta Paralela a un Plano π que Pasa por un Punto P y Corta a una Recta r

  1. Calcular el plano α1 que pasa por el punto P y es paralelo al plano π.
  2. Resolver el sistema formado por las ecuaciones de la recta r y el plano α1 para obtener el punto de intersección S.
  3. La recta buscada es la que pasa por los puntos P y S.

Recta que Pasa por un Punto P y Corta a Dos Rectas (r y s)

  1. Calcular el plano π1 que contiene al punto P y a la recta r.
  2. Calcular el plano π2 que contiene al punto P y a la recta s.
  3. La recta buscada es la intersección de los planos π1 y π2.

Punto P del Plano π Más Próximo al Origen (0,0,0)

  1. Calcular la recta r que es perpendicular al plano π y que pasa por el origen (0,0,0).
  2. Resolver el sistema formado por las ecuaciones de la recta r y el plano π para obtener el punto P.

Punto Simétrico de P Respecto a una Recta r

  1. Calcular el plano π que es perpendicular a la recta r y que pasa por el punto P.
  2. Resolver el sistema formado por las ecuaciones de la recta r y el plano π para obtener el punto de intersección Q. Este punto Q es el punto medio entre P y su simétrico P'.
  3. Si P(a,b,c) y Q(e,f,g), el punto simétrico P'(x,y,z) se calcula usando la fórmula del punto medio:
    • (a+x)/2 = e
    • (b+y)/2 = f
    • (c+z)/2 = g

Sistemas de Ecuaciones Lineales y su Interpretación Geométrica

La resolución de sistemas de ecuaciones lineales es fundamental en geometría analítica, y su interpretación se basa en el Teorema de Rouché-Frobenius, que relaciona los rangos de la matriz de coeficientes (rg A) y la matriz ampliada (rg A*) con el número de incógnitas (nº incog).

  • Sistema Compatible Determinado (SCD):
    • Condición: rg(A) = rg(A*) = nº incog.
    • Interpretación: Existe una única solución. Geométricamente, esto representa la intersección de elementos en un único punto (e.g., tres planos que se cortan en un punto).
    • Método: Puede resolverse por el método de Cramer.
  • Sistema Compatible Indeterminado (SCI):
    • Condición: rg(A) = rg(A*) < nº incog.
    • Interpretación: Existen infinitas soluciones. Geométricamente, los elementos se intersecan en una línea o un plano (e.g., tres planos que se cortan en una recta, o dos planos coincidentes).
  • Sistema Incompatible (INC):
    • Condición: rg(A) ≠ rg(A*).
    • Interpretación: No existe solución. Geométricamente, los elementos no se intersecan (e.g., planos paralelos distintos, rectas que se cruzan).

Fórmulas Adicionales

Aunque no directamente relacionada con la geometría analítica espacial, la siguiente fórmula es un recordatorio útil:

(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

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