Fundamentos de Geometría Analítica y Probabilidad: Conceptos Clave

Fundamentos de Geometría Analítica y Probabilidad

Repaso de conceptos clave de geometría analítica y probabilidad.

Geometría Analítica

• Módulo de un vector |AB|: √((b1-a1)² + (b2-a2)²)
• Coordenadas de un vector dado por dos puntos A(a1, a2) y B(b1, b2): (b1-a1, b2-a2)
• Ejemplo: Vértices de un triángulo A(2,4), B(5,7), C(8,2). Cálculo de |AB|, |BC|, |CA|.
• Vector de posición: Origen (0,0).
• Vector equipolente: Mismo módulo, dirección y sentido. Vector libre.
• Vectores equipolentes en el plano: Conjunto de vectores equipolentes a uno fijo.

Operaciones con Vectores Libres

• Suma de vectores libres: u(u1, u2) + v(v1, v2) = (u1+v1, u2+v2)
• Multiplicación de un vector por un escalar: k * u = k * (u1, u2) = (ku1, ku2)
• Combinación lineal de vectores: Dos vectores son linealmente dependientes si tienen la misma dirección (u = k * v). Tres vectores son linealmente dependientes si w = a * u + b * v.
• Punto medio de un segmento: ((a1+b1)/2, (a2+b2)/2)

Producto Escalar

• Definición: u · v = |u| * |v| * cos(u, v)
• Cálculo con coordenadas: u · v = u1 * v1 + u2 * v2
• Ángulo entre dos vectores: cos(u, v) = (u · v) / (|u| * |v|)
• Vectores perpendiculares: Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es 0.

Ejemplo de Cálculo de Ángulo

Dado un triángulo A(3,0), B(3,4), C(4,-2), calcular el ángulo en el vértice A y la medida del lado BC.

• Ángulo AB(6,4), AC(7,-2)
• cos(AB, AC) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|) = arccos(0.6476) ≈ 49º
• Medida del lado BC = |BC|

Ecuaciones de la Recta

• Ecuación vectorial: (x, y) = (a1, a2) + t * (u1, u2)
• Ecuación paramétrica: x = a1 + t * u1, y = a2 + t * u2
• Ecuación continua: (x - a1) / u1 = (y - a2) / u2
• Ecuación general: Ax + By + C = 0 (vector normal n = (A, B), vector director (-B, A))

Ejemplo de Ecuación de la Recta

Hallar las ecuaciones continua y general de la recta que pasa por A(3, -2) y tiene la dirección del vector (-2, 3).

• Continua: (x - 3) / -2 = (y + 2) / 3
• General: 3x - 9 = -2y - 4 => 3x + 2y - 5 = 0
• Ecuación explícita: y = mx + n (despejando y de la general, m = u1 / u2)
• Ecuación punto-pendiente: y - a2 = m * (x - a1)

Posición Relativa de Dos Rectas en el Plano

• Secantes: A/A' ≠ B/B'. El punto de corte se encuentra resolviendo el sistema de ecuaciones.
• Paralelas: A/A' = B/B' ≠ C/C'
• Coincidentes: A/A' = B/B' = C/C'
• Rectas paralelas a una dada: Ax + By + K = 0

Ejemplo de Recta Paralela

Recta 2x - 3y - 5 = 0 pasa por el punto (-1, 5). Sustituyendo x e y, se despeja K.

• Rectas perpendiculares a una dada: Bx - Ay + k = 0

Probabilidad

• Experimento aleatorio: No se puede predecir el resultado.
• Experimento determinista: Se puede predecir el resultado.
• Espacio muestral (E): Todos los resultados posibles.
• Suceso (A): Subconjunto del espacio muestral.

Tipos de Sucesos

• Elemental: Resultado único.
• Compuesto: Varios resultados.
• Seguro o cierto: Incluye todos los elementos posibles (ej: lanzar un dado y sacar menos de 10).
• Imposible: Nunca se verifica.
• Contrario (Ā): Se cumple cuando no se realiza A.

Operaciones con Sucesos

• Unión (A ∪ B): Incluye los elementos de A y los de B.
• Intersección (A ∩ B): Incluye los elementos comunes de A y B.
• Diferencia (A - B): Incluye los elementos de A que no están en B.

Tipos de Sucesos (Relación)

• Compatibles: Algún elemento en común.
• Incompatibles: Ningún elemento en común.

Probabilidad

• 0 ≤ P(A) ≤ 1
• Probabilidad de un suceso imposible = 0
• Probabilidad de un suceso seguro = 1
• P(A) = Número de casos favorables / Número de casos posibles

Cálculo de Probabilidades

• Probabilidad de la unión de sucesos: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• Probabilidad de la intersección de sucesos independientes: P(A ∩ B) = P(A) * P(B)
• Probabilidad de la intersección de sucesos dependientes: P(A ∩ B) = P(A) * P(B/A)
• Probabilidad condicionada: P(B/A)