Fundamentos de Geometría: Clasificación de Ángulos, Triángulos y Teoremas Clave

Clasificación de Ángulos

Según su Medida

• Agudo: Mide menos de 90°.
• Recto: Mide exactamente 90°.
• Obtuso: Mide más de 90° y menos de 180°.
• Llano: Mide exactamente 180°.

Según la Suma de sus Medidas

• Complementarios: Su suma es de 90°.
• Suplementarios: Su suma es de 180°.

Operaciones con Ángulos

Adición Numérica

Ejemplo: Si tenemos un ángulo de 37° y otro de 45°:

$$\text{Ángulo } ABC + \text{Ángulo } DEF = 37° + 45° = 82°$$

Sustracción Numérica

Ejemplo: Si tenemos un ángulo de 60° y otro de 40°:

$$\text{Ángulo } ABC - \text{Ángulo } DFE = 60° - 40° = 20°$$

Teoremas Fundamentales de Ángulos

1. Teorema I: Dos ángulos adyacentes son suplementarios (si forman una línea recta).
2. Teorema II: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
3. Teorema III: Los ángulos consecutivos formados a un lado de una recta suman 180°.
4. Teorema IV: La suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto suman 360°.
5. Teorema V: Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos internos iguales.
6. Teorema VI: Toda secante forma con dos paralelas ángulos alternos externos iguales.
7. Teorema VII: Dos ángulos internos conjugados son suplementarios.
8. Teorema VIII: Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en el mismo sentido son iguales.
9. (Teorema IX omitido en el documento original)
10. Teorema X: Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos y dirigidos en sentido contrario son iguales.

Razonamiento Matemático

Razonamiento Inductivo

Permite identificar patrones visuales o numéricos y hacer predicciones basadas en estos patrones, de tal manera que se llegue a una conclusión o una generalización.

Ejemplo:

Figura 1: ○○○○ (4 círculos)
Figura 2: ○○○○○○ (6 círculos)
Figura 3: ○○○○○○○○ (8 círculos)

¿Cuántos círculos habría en la décima ilustración?

El patrón es $X = 2n + 2$, donde $n$ es el número de la figura.

Para la décima ilustración ($n=10$):

$$X = (10 \cdot 2) + 2 = 20 + 2 = 22$$

Razonamiento Deductivo

Método científico con el que se llega a una conclusión particular a partir de premisas generales.

Ejemplo:

Hipótesis 1 (General): Dos ángulos son complementarios si suman 90° ($A + B = 90°$).

Hipótesis 2 (Específica): El ángulo $A = 80°$.

Hipótesis 3 (Condición): El ángulo $B$ se define como $B = x - 30°$.

Deducción:

Si $A + B = 90°$, entonces $B = 90° - 80° = 10°$.

Para que se cumpla la Hipótesis 3, $10° = x - 30°$, por lo tanto, $x = 40°$.

Verificación: $B = 40° - 30° = 10°$. Y $A + B = 80° + 10° = 90°$.

Clasificación de Triángulos

Según la Medida de sus Lados

• Equilátero: Tres lados iguales.
• Isósceles: Dos lados iguales.
• Escaleno: Tres lados diferentes.

Según la Medida de sus Ángulos

• Acutángulo: Sus tres ángulos son agudos (menores de 90°).
• Triángulo Rectángulo: Tiene un ángulo recto (90°).
• Triángulo Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso (mayor de 90°).

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa ($c$) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos ($a$ y $b$).

Fórmulas Principales

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Despeje de Lados

• Hipotenusa ($c$): $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$
• Cateto ($a$): $$a = \sqrt{c^2 - b^2}$$
• Cateto ($b$): $$b = \sqrt{c^2 - a^2}$$