Fundamentos de la Geometría: Desarrollo Cognitivo y Modelo de Razonamiento de Van Hiele

Fundamentos Históricos y Cognitivos de la Geometría

René Descartes (1596-1650)

Su obra publicada, titulada La Géométrie (1637), fue un apéndice de su famoso Discurso del Método, en la que sentó las bases de la geometría analítica.

• Descartes solo utilizaba el eje de abscisas.
• Solo consideraba valores positivos de las cantidades $x$ e $y$.

Euclides (c. 325-265 a. C.)

Euclides intentó resumir todo el saber matemático en su libro Los Elementos. La geometría euclidiana perduró sin variaciones significativas hasta el siglo XIX.

Presenta el estudio de las propiedades de:

• Líneas y planos.
• Círculos.
• Formas regulares.

Propiedades Geométricas según Jean Piaget

Propiedades Topológicas

Son propiedades globales independientes de la forma o el tamaño. Estas incluyen:

• Cercanía (proximidad).
• Ordenación.
• Cerramiento (cierre).
• Continuidad.

En las transformaciones topológicas, es posible torcer, doblar y estirar las figuras sin alterar estas propiedades fundamentales.

Modelo de Van Hiele: Niveles de Razonamiento Geométrico

La Teoría de los Niveles de Razonamiento de Van Hiele explica cómo se produce el desarrollo en la calidad del razonamiento geométrico de los estudiantes cuando estos estudian geometría.

Nivel 1: Visualización (6-8 años)

El estudiante compara y asigna nombres a las figuras basándose en su apariencia global.

1. Comparación y asignación de nombres a polígonos elementales.
2. Encargar y dibujar polígonos elementales.
3. Asignar nombres a los polígonos.
4. Realizar clasificaciones simples.
5. Separar en diagramas distintos grupos de polígonos.

Nivel 2: Desarrollo del Conocimiento de las Propiedades

Las propiedades de las formas se establecen experimentalmente.

1. Comparar y asignar nombres al conjunto de polígonos regulares.
2. Ordenar y clasificar polígonos de distinto modo.
3. Relacionar cada polígono regular con sus características propias.

Nivel 3: Abstracción (Deducción Informal)

Los estudiantes comienzan a establecer relaciones entre propiedades, aunque no siempre entienden por qué deben demostrar una propiedad que perciben como verdadera.

1. Relacionar los polígonos regulares teniendo en cuenta sus características.
2. Agrupar y diferenciar las clases de polígonos regulares.
3. Expresar las diferencias y semejanzas entre las clases de polígonos.
4. Construir y descomponer polígonos regulares utilizando distintos materiales.

Fases del Aprendizaje Geométrico (Modelo Van Hiele)

Información

Se pone a disposición del alumno material clarificador del contexto de trabajo.

Orientación Dirigida

Se proporciona material por medio del cual el alumno aprende las principales nociones. El material y las nociones se seleccionan en función del nivel de razonamiento del estudiante.

Explicitación

Se busca que el alumno se apropie del lenguaje geométrico pertinente.

Orientación Libre

Se proporcionan al alumno materiales con varias posibilidades de uso, fomentando la exploración autónoma.

Integración

Se invita a los alumnos a reflexionar sobre sus propias acciones y a consolidar el nuevo conocimiento geométrico.