Fundamentos de Geometría Diferencial: Formas, Curvaturas y Teoremas Clave

Este documento explora los conceptos fundamentales de la geometría diferencial, incluyendo las formas fundamentales, las curvaturas y los teoremas clave que definen las propiedades de las superficies.

Formas Fundamentales

Primera Forma Fundamental

g_ij = x_i · x_j

Segunda Forma Fundamental

L_ij = x_ij · n

Símbolos de Christoffel y Fórmulas de Gauss

Símbolos de Christoffel

Γ^k_ij = Σ_l (x_ij · x_l)g^lk = 0.5 * Σ_l ((∂g_il/∂u^j) - (∂g_ij/∂u^l) + (∂g_lj/∂uⁱ))g^lk. Esta última se demuestra calculando las derivadas.

Fórmulas de Gauss

x_ij = L_ij * n + Σ_k Γ^k_ij * x_k se demuestra.

x_ij = a_ij * n + b_{1 ij} * x₁ + b_{2 ij} * x₂. Calculamos <x_ij, x_l> y la sustituimos en la fórmula de los símbolos de Christoffel.

Curvatura Normal y Geodésica

Curvatura normal y geodésica de una curva de velocidad 1 en una superficie

κ_n = Σ_i Σ_j (L_ij * (αⁱ)' * (α^j)')

κ_gS = Σ_z (Σ_ij ((αⁱ)' * (α^j)' * Γ^k_ij + (α^k)''))x_k

Si k_g = 0 es una geodésica k_g = <T', S>

Se demuestra tomando α'' = a * n + b₁ * x₁ + b₂ * x₂

α'' = Σ_i Σ_j (x_ij * (αⁱ)' * (α^j)') + Σ_i (x_i * (αⁱ)'')

α'' = x(s) * v(s)

Curvatura geodésica de una curva de velocidad 1

κ_g = Σ_m,z (Σ_i,j (αⁱ)' * (α^j)' * (α^m)' * Γ^z_ij + (α^z)'' * (α^m)')ε_mz

Se demuestra k_g = <k_gS, S> = <<k_gS, n vectorial T>, T = Σ_m (x_m * (α^m)')

Aplicación de Weingarten y Curvaturas de Gauss y Media

Aplicación de Weingarten

L(x_k) = Σ_l (L^l_k * x_l) se demuestra que

L^l_k = Σ_i (L_ik * g^il)

L(x_k) = -X₁ * n = -n_k (se demuestra de Xf = X₁ * ∂n/∂u¹ + X₂ * ∂n/∂u²)

Curvatura de Gauss

K = κ₁ * κ₂

Curvatura Media

H = 0.5 * (κ₁ + κ₂)

Tensor de Curvatura de Riemann y Ecuaciones

Coeficientes del tensor de curvatura de Riemann

R^l_ijk = (∂Γ^l_ik/∂u^j) - (∂Γ^l_ij/∂u^k) + Σ_s (Γ^s_ik * Γ^l_sj - Γ^s_ij * Γ^l_sk)

Ecuaciones de Gauss

R^l_ijk = L_ik * L^l_j - L_ij * L^l_k

Ecuaciones de Codazzi-Mainardi

(∂L_ij/∂u^k) - (∂L_ik/∂u^j) = Σ_l (Γ^l_ik * L_lj - Γ^l_ij * L_lk)

Estas se demuestran de:

X_ijk = (δL_ij/δu^k + Σ_l Γ^l_ij * L_lk) * n + Σ_s (-L_ij * L_{s k} + δΓ^s_ij/δu^k + Σ_l Γ^s_lk * Γ^k_ij) * X_s

Teorema Egregio de Gauss

Teorema Egregio de Gauss

K = (1/g) * (Σ_l R^l₁₂₁ * g_l2)

Calculamos el sumatorio de l R^l₁₂₁ * g_l2 = L_ik * L_jm - L_ij * L_km

Proposiciones

PROPOSICIÓN: Sea S := (U, x) una superficie simple de clase C^k con k ≥ 1 y (a, b) ∈ U. Se verifica que T_PS es un subespacio vectorial de R³. Definimos µ : R → R² µ(t) := (ρ₁(t) + γ₁(t) - a, ρ₂(t) + γ₂(t) - b)

1. µ es continua (obvio) ⇒ µ^-1(U) abierto de R.
2. 0 ∈ µ^-1(U) porque µ(0) := (ρ₁(0) + γ₁(0) - a, ρ₂(0) + γ₂(0) - b) = (a, b) ∈ U
3. ⇒ ∃ I ⊆ R tal que 0 ∈ I y µ(I) ⊆ U. Consideramos entonces: β : I ⇒ µ(I) ⊆ U β(t) := µ(t) = (ρ₁(t) + γ₁(t) - a, ρ₂(t) + γ₂(t) - b) Definimos la parametrización α de la curva como sigue: α := x ◦ β

PROPOSICIÓN:

µ : R → R² µ(t) := (a + r₁t, b + r₂t)

1. µ es continua (obvio) ⇒ µ^-1(U) abierto de R.
2. 0 ∈ µ^-1(U) (porque µ(0) = (a, b) ∈ U.
3. ∃ I ⊆ R tal que 0 ∈ I y µ(I) ⊆ U. Consideramos entonces: β : I ⇒ µ(I) ⊆ U t → β(t) := µ(t) = (a + r₁t, b + r₂t) Definimos la parametrización α de la curva como sigue: α := x ◦ β

1. α es la parametrización de una curva contenida en la superficie simple S.
2. α(t₀) = x(a, b) = P
3. α'(t₀) = r₁x₁(a, b) + r₂x₂(a, b) = V

Transformación Coordenada y Curva Generatriz

TRANSFORMACIÓN COORDENADA: Sea U, V abiertos de R² llamamos trans coord a una aplicación f:V→U f biyectiva y f y f^-1 diferenciables

CURVA GENERATRIZ DE UNA SUP DE REVOLUCIÓN: α:I→R³, α=(r(t),0,z(t)).

α curva regular (abierto diferenciable α' distinto de cero) inyectiva y r(t) > 0