Fundamentos de Geometría Euclídea: Conceptos Esenciales de Puntos, Rectas y Planos

Introducción a los Entes Fundamentales de la Geometría

El espacio se define como el conjunto de todos los puntos. Una figura geométrica es cualquier subconjunto de puntos del espacio.

Existen tres entes fundamentales e indefinibles en geometría, que solo es posible describir en relación con otros elementos similares. Estos son el punto, la recta y el plano.

El Punto

El punto no posee longitud, área, volumen, ni otra magnitud dimensional. No es un objeto físico, sino que describe una posición en el espacio, determinada respecto a un sistema de coordenadas preestablecido.

La Recta

La recta se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos. Es una sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, sin principio ni fin.

Características de la Recta

• La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos.
• La distancia más corta entre dos puntos en la geometría euclídea se encuentra en una línea recta.
• La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.

El Plano

El plano es el ente ideal que solo posee dos dimensiones y contiene infinitos puntos y rectas.

Un Plano Queda Definido Por:

• Tres puntos no alineados.
• Una recta y un punto exterior a ella.
• Dos rectas paralelas.
• Dos rectas que se cortan.

Postulados Fundamentales de la Geometría Euclídea

Los postulados son proposiciones cuya verdad se admite sin demostraciones, sirviendo de base para otras deducciones.

Postulados Generales

• Por un punto pasan infinitas rectas y planos.
• Dos puntos determinan una recta y solo una.
• Una recta contiene infinitos puntos.
• Un plano contiene infinitos puntos e infinitas rectas.
• El espacio contiene infinitos puntos, rectas y planos.

Postulados de la Recta

• Por dos puntos diferentes solo pasa una línea recta.
• Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores cuya suma es menor que dos ángulos rectos, entonces las dos rectas, suficientemente alargadas, se cortarán en el mismo lado. (Quinto Postulado de Euclides)

Postulados sobre la División de un Plano

En cada pareja de semiplanos que una recta r determina sobre un plano, existen infinitos puntos tales que:

• Todo punto del plano pertenece a uno de los dos semiplanos, o a la recta que los determina.
• Dos puntos del mismo semiplano determinan un segmento que no corta a la recta r.
• Dos puntos de semiplanos diferentes determinan un segmento que corta a la recta r.

La recta es un conjunto de infinitos puntos alineados, sin principio ni fin.

Conceptos y Definiciones Adicionales en Geometría

Puntos Colineales y Coplanarios

• Puntos colineales: Se dice que tres o más puntos son colineales si están contenidos en una misma recta. Es importante recordar que dos puntos siempre determinan una y solo una línea recta que los contiene.
• Puntos coplanarios: Son puntos comprendidos dentro de un mismo plano.

Tipos de Rectas

• Rectas concurrentes o secantes: Son rectas que tienen un punto en común.
• Rectas paralelas: Son dos rectas contenidas en el plano que no tienen ningún punto en común.
• Recta transversal: Es una recta que corta a otras dos.
• Rectas que se cruzan: Son dos rectas que se encuentran en su camino y que tienen un punto en común.

Segmentos

• Segmento: Es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
• Segmentos consecutivos: Dos segmentos son consecutivos cuando tienen en común únicamente un extremo. Según pertenezcan o no a la misma recta, se clasifican en:
  • Colineales (alineados o adyacentes)
  • No colineales
• Segmentos congruentes: Son dos segmentos iguales.

Semirrecta y Semiplano

• Semirrecta o rayo: Todo punto P divide a una recta que lo contiene en dos subconjuntos formados por los puntos que están situados a un mismo lado respecto de P.
• Semiplano: Es cada una de las dos partes en que queda dividido un plano al quitar una recta del mismo. Pueden ser semiplanos abiertos o cerrados, según se incluya o no la recta a partir de la cual se forman.

El Ángulo

El ángulo se puede considerar como la intersección de dos semiplanos cerrados, obtenidos a partir de dos rectas incidentes. Ambas semirrectas son los lados del ángulo y el punto de concurrencia es el vértice. La palabra ángulo también se usa para designar a la figura geométrica formada solamente por el conjunto de los lados y el vértice.