Fundamentos de Geometría y Percepción Espacial: Conceptos Clave y Errores Comunes

1. Ramas Fundamentales de la Geometría

• Geometría Pura: Estudia las propiedades y razones geométricas, auxiliándose de razones y proporciones.
• Geometría Métrica: Estudia las propiedades métricas y aprecia las magnitudes de las figuras.
• Geometría Proyectiva: Estudia las propiedades de las figuras que se conservan al proyectarlas.
• Trigonometría: Su objeto es la determinación completa de un triángulo esférico.
• Geometría Analítica: Estudia las propiedades métricas y proyectivas con auxilio del álgebra y el cálculo.
• Geometría Infinitesimal: Determina los elementos métricos y las relaciones métricas haciendo intervenir el cálculo de lo infinitamente pequeño.
• Geometría Descriptiva: Enseña a representar los cuerpos.
• Geometría No Euclidiana: Se desenvuelve por deducciones lógicas.

2. Conocimiento Espacial y Conocimiento Geométrico

Situándonos en el marco de la teoría de las situaciones didácticas, diferenciaremos entre conocimiento espacial y geométrico en función de dos situaciones problema en las que estos conocimientos se movilizan.

2.1. Los Problemas Espaciales

• Su finalidad concierne al espacio sensible.
• Pueden tratar sobre la realización de acciones: fabricar, desplazarse, dibujar, etc.
• Implican comunicaciones a propósito de las acciones o de constataciones. El lenguaje permite comunicar información que sustituye a la percepción.
• El éxito o fracaso viene determinado por el resultado obtenido o el esperado.

2.2. Los Problemas Geométricos

Consiste en que resolver un problema de geometría es una actividad que tiene que ver con el carácter necesario de ciertas propiedades de los objetos de geometría.

3. Relaciones entre Conocimiento Espacial y Geométrico

• Son los conocimientos espaciales los que han dado lugar al nacimiento de la geometría.
• Los conocimientos geométricos son herramientas para la resolución de problemas espaciales; por ejemplo, el cristalero.
• El vocabulario tiene puntos comunes y diferentes.
• La manera de organizar los conocimientos es diferente.
• Los conocimientos geométricos nos pueden servir para solucionar problemas espaciales que surgen de la problemática práctica y de la modelización.

4. Definición de Radián

Se define como la medida de un ángulo central que abarca un arco de longitud igual al radio. Por convención, 360º = 2π radianes.

5. Consecuencias del Teorema de Tales

• La razón entre los segmentos de una recta es igual a la de otra recta paralela.
• Toda paralela a un lado de un triángulo... (Nota del profesor: La frase original está incompleta, se asume que se refiere a la formación de un triángulo semejante).

5.1. Recíproco del Teorema de Tales

Si una recta divide a dos lados de un triángulo en segmentos proporcionales, es paralela al tercer lado.

5.2. Corolario del Teorema de Tales

La recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al tercer lado e igual a su mitad.

6. Simetría: Definición y Eje

Una recta 'e' es un eje de simetría de una figura 'F' si 'F' es una figura doble para la simetría de eje la recta 'e' (ejemplo: triángulo isósceles, cuadrado, rombo, etc.).

7. La Esfera: Superficie y Cuerpo

7.1. Superficie Esférica

Es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de un punto 'O' llamado centro. El radio 'r' es la distancia del centro a cualquier punto de la superficie.

7.2. La Esfera

Es un cuerpo limitado por una superficie esférica. Un punto es interior o exterior a la esfera, según que su distancia al centro sea menor o mayor que el radio. Todo plano que pasa por el centro se llama plano diametral y corta la superficie esférica en circunferencias iguales entre sí, pudiendo considerar a la superficie esférica como engendrada por una circunferencia que gira alrededor de uno de sus diámetros.

8. Conceptos Erróneos sobre el Espacio y el Aprendizaje de Formas y Ángulos

Muchos de los conceptos erróneos que los niños se forman sobre el espacio parecen deberse a enseñanzas inadecuadas. Los niños han puesto su atención sobre criterios erróneos y, como consecuencia, han desarrollado conceptos falsos o limitados. Por ejemplo: líneas o triángulos.

Frecuentemente, cuando la forma cambia de posición, el niño cree que su carácter también cambia. Los investigadores sostienen que el niño tiene un error de concepto aprendido debido a que siempre se le han presentado los triángulos o las paralelas en una posición habitual, y al cambiar la posición, surge el error y les resulta difícil generalizar los conceptos.

Numerosos estudios sobre ángulos, paralelas, triángulos, cuadrados, rectángulos, etc., demuestran que los niños no son capaces de reconocer las propiedades de las figuras y sus formas cuando se les presentan en situaciones diferentes de las que ellos han aprendido, ya que han creado conceptos erróneos o limitados sobre estas nociones.