Fundamentos de Geometría Plana: Rectas, Ángulos y Aplicación del Teorema de Pitágoras

Conceptos Fundamentales de Geometría Plana

1. Las Rectas y sus Posiciones Relativas

Las rectas son elementos fundamentales en la geometría. Sus posiciones relativas se definen por la cantidad de puntos que tienen en común:

• Rectas Paralelas: No tienen ningún punto en común. Se representan con el símbolo $\parallel$.
• Rectas Coincidentes: Tienen todos sus puntos en común (son la misma línea).
• Rectas Secantes: Tienen un único punto en común. Se representan con el símbolo $X$.
• Rectas Perpendiculares: Son rectas secantes que se cortan formando cuatro ángulos iguales, denominados ángulos rectos ($90^{\circ}$). Se representan con el símbolo $\#$.

2. Los Ángulos: Tipos y Relaciones

Tipos de Ángulos

Los ángulos se clasifican según su medida:

• Recto: Mide $90^{\circ}$.
• Llano: Mide $180^{\circ}$.
• Completo: Mide $360^{\circ}$.
• Agudo: Mide menos de $90^{\circ}$.
• Obtuso: Mide más de $90^{\circ}$.
• Convexos: Miden menos de $180^{\circ}$.
• Cóncavos: Miden más de $180^{\circ}$.

Parejas de Ángulos

Las parejas de ángulos se clasifican según la suma de sus medidas:

• Complementarios: La suma de la pareja de ángulos es $90^{\circ}$.
• Suplementarios: La suma de la pareja de ángulos es $180^{\circ}$.

3. Los Triángulos

Propiedad Fundamental

La suma de los tres ángulos internos de un triángulo siempre es $180^{\circ}$.

Clasificación de Triángulos

Clasificación según sus lados:

• Triángulo Equilátero: Tiene 3 lados iguales.
• Triángulo Isósceles: Tiene 2 lados iguales.
• Triángulo Escaleno: No tiene ningún lado igual.

Clasificación según sus ángulos:

• Triángulo Acutángulo: Tiene 3 ángulos agudos.
• Triángulo Rectángulo: Tiene un ángulo recto ($90^{\circ}$).
• Triángulo Obtusángulo: Tiene 1 ángulo obtuso.

4. Teorema de Pitágoras

Este teorema se aplica solo a triángulos rectángulos. Los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

Fórmula: La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

$$Hipotenusa^2 = Cateto_1^2 + Cateto_2^2$$

Ejemplo: Si los catetos miden 4 y 3, y la hipotenusa mide 5:

$$5^2 = 4^2 + 3^2 \implies 25 = 16 + 9 \implies 25 = 25$$

5. Ejemplos Prácticos de Aplicación del Teorema de Pitágoras

Problema 1: Diagonal de un Cuadrado

Halla la longitud de la diagonal de un cuadrado de 5 cm de lado.

La diagonal ($X$) forma un triángulo rectángulo con dos lados del cuadrado (catetos).

$$X^2 = 5^2 + 5^2$$

$$X^2 = 25 + 25$$

$$X^2 = 50$$

$$X = \sqrt{50} \approx 7.07 \text{ cm}$$

Problema 2: Diagonal de un Rectángulo

Halla la diagonal de un rectángulo de lados 6 y 8.

La diagonal ($X$) es la hipotenusa, y los lados son los catetos.

$$X^2 = 6^2 + 8^2$$

$$X^2 = 36 + 64$$

$$X^2 = 100$$

$$X = \sqrt{100} = 10$$

Problema 3: Altura de una Cometa

Un niño sujeta una cometa con una cuerda de 35 m. La cometa está encima de un árbol que se encuentra a 20 m del niño. ¿A qué altura está la cometa?

La cuerda (35 m) es la hipotenusa. La distancia al árbol (20 m) es un cateto. La altura ($X$) es el otro cateto.

$$35^2 = 20^2 + X^2$$

$$1225 = 400 + X^2$$

$$X^2 = 1225 - 400$$

$$X^2 = 825$$

$$X = \sqrt{825} \approx 28.72 \text{ m}$$

Problema 4: Hipotenusa de un Triángulo Isósceles Rectángulo

En un triángulo rectángulo isósceles, calcula la hipotenusa si los catetos miden 3 cm.

Como es isósceles, ambos catetos ($c$) son iguales ($3 \text{ cm}$).

$$X^2 = 3^2 + 3^2$$

$$X^2 = 9 + 9$$

$$X^2 = 18$$

$$X = \sqrt{18} \approx 4.24 \text{ cm}$$

Problema 5: Cálculo de un Cateto

Calcula la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo si la hipotenusa mide 10 cm y el otro cateto 8 cm.

La hipotenusa ($h$) es 10. Un cateto ($c_1$) es 8. El cateto desconocido es $X$.

$$10^2 = 8^2 + X^2$$

$$100 = 64 + X^2$$

$$X^2 = 100 - 64$$

$$X^2 = 36$$

$$X = \sqrt{36} = 6 \text{ cm}$$

Problema 6: Altura de una Escalera

¿A qué altura se puede llegar con una escalera de 3 m colocándola a 1 m de la pared?

La escalera (3 m) es la hipotenusa. La base (1 m) es un cateto. La altura ($X$) es el otro cateto.

$$3^2 = X^2 + 1^2$$

$$9 = X^2 + 1$$

$$X^2 = 9 - 1$$

$$X^2 = 8$$

$$X = \sqrt{8} \approx 2.83 \text{ m}$$

6. Rectas Notables en el Triángulo

Las rectas notables son líneas específicas que se trazan dentro de un triángulo y que se intersecan en puntos especiales:

• Mediana: Recta que pasa por el punto medio de un lado y por el vértice opuesto. Las tres medianas se cortan en un punto llamado Baricentro.
• Altura: Recta perpendicular (forma $90^{\circ}$) a un lado y que pasa por el vértice opuesto. Las tres alturas se cortan en un punto llamado Ortocentro.
• Mediatriz: Recta perpendicular a un lado y que pasa por su punto medio. Las tres mediatrices se cortan en un punto llamado Circuncentro.
• Bisectriz: Recta que divide al ángulo por la mitad. Las tres bisectrices se cortan en un punto llamado Incentro.

7. Operaciones con Ángulos: La División

Para dividir un ángulo expresado en grados, minutos y segundos entre un número entero, se sigue el siguiente procedimiento:

1. Se dividen los grados entre el número.
2. Si queda resto, este se pasa a minutos (multiplicando por 60).
3. Se suman los minutos resultantes con los minutos que ya estaban.
4. Se dividen los minutos entre el número.
5. Si queda resto, este se pasa a segundos (multiplicando por 60).
6. Se suman los segundos resultantes con los segundos que ya estaban.
7. Se dividen los segundos entre el número.