Fundamentos de Geometría y Poliedros: Cálculo de Volumen, Aristas y Vértices

Fundamentos de Geometría Espacial y Poliedros

Ejercicio 1: Escalado de Volumen en un Hexaedro

Problema: Si en un hexaedro regular (cubo) se duplica la longitud del lado, ¿qué volumen tiene el nuevo hexaedro respecto al original?

Resolución

1. Hexaedro Original (Lado $L$): El volumen $V_1$ se calcula como $V_1 = L^3$.
2. Nuevo Hexaedro (Lado $2L$): El volumen $V_2$ se calcula sustituyendo la nueva longitud: $$V_2 = (2L)^3$$ $$V_2 = 2^3 \cdot L^3$$ $$V_2 = 8L^3$$

Conclusión: El volumen del nuevo cubo será 8 veces mayor que el del cubo original.

Ejercicio 2: Trazado de una Circunferencia por Tres Puntos

Problema: Dibuja una circunferencia que pase por tres puntos no alineados.

Procedimiento Geométrico

Para trazar una circunferencia que pase por tres puntos no colineales, es necesario encontrar el circuncentro (el centro de dicha circunferencia).

1. Dados los tres puntos, se forman dos segmentos.
2. Se trazan las mediatrices (o bisectrices perpendiculares) de ambos segmentos.
3. El punto donde se cortan las dos mediatrices es el centro de la circunferencia.
4. Con la apertura del compás igual a la distancia entre el centro y cualquiera de los tres puntos, se traza la circunferencia.

Ejercicio 3: Propiedades de los Sólidos Platónicos

Problema: Sabiendo el número de caras ($C$) y las formas de las mismas, calcula cuántas aristas ($A$) y cuántos vértices ($V$) tienen estos cuerpos tridimensionales:

Ejercicio 4: Cálculo de Vértices y Aristas en un Poliedro Complejo

Problema: Un poliedro en forma de balón de fútbol (icosaedro truncado) tiene 32 caras: 20 son hexágonos y 12 son pentágonos. ¿Cuántos vértices y cuántas aristas tiene el poliedro?

Cálculo de Aristas (A)

Cada arista es compartida por exactamente dos caras. Calculamos el total de lados de todas las caras y dividimos por dos.

• Lados de los hexágonos: $20 \times 6 = 120$
• Lados de los pentágonos: $12 \times 5 = 60$
• Total de lados: $120 + 60 = 180$
• Número de aristas ($A$): $180 / 2 = 90$ aristas.

Cálculo de Vértices (V)

Utilizamos la Fórmula de Euler para poliedros convexos: $V - A + C = 2$.

• Caras ($C$): 32
• Aristas ($A$): 90
• $V = A - C + 2$
• $V = 90 - 32 + 2 = 60$ vértices.

Respuesta: El poliedro tiene 90 aristas y 60 vértices.

Ejercicio 5: Desigualdades y Propiedades de Euler

Problema: Siendo $A$ (aristas), $V$ (vértices) y $C$ (caras), responde a las siguientes cuestiones sobre poliedros convexos.

a) Explica por qué $2A \ge 3C$

En cualquier poliedro, cada cara debe tener al menos tres lados (triángulos). Si sumamos el número de lados de todas las caras, obtenemos $2A$ (ya que cada arista es compartida por dos caras). Por lo tanto, si $C_i$ es el número de lados de la cara $i$, tenemos $2A = \sum C_i$. Como el mínimo valor de $C_i$ es 3, se cumple que $2A \ge 3C$.

b) Explica por qué $2A \ge 3V$

En cualquier poliedro, cada vértice debe ser la unión de al menos tres aristas. Si sumamos el número de aristas que concurren en cada vértice, obtenemos $2A$ (ya que cada arista conecta dos vértices). Por lo tanto, si $V_j$ es el número de aristas que concurren en el vértice $j$, tenemos $2A = \sum V_j$. Como el mínimo valor de $V_j$ es 3, se cumple que $2A \ge 3V$.

c) Muestra que cualquier poliedro tiene que tener al menos 6 aristas

El poliedro convexo con el menor número de caras es el tetraedro (4 caras). El tetraedro tiene 4 vértices y 6 aristas. Dado que no existe un poliedro con menos de 4 caras o 4 vértices, el número mínimo de aristas es 6.

d) Usa los apartados a y b para demostrar que ningún poliedro puede tener 7 caras

Supongamos que un poliedro tiene $C=7$ caras. Aplicamos las desigualdades y la Fórmula de Euler ($V - A + C = 2$).

1. De la desigualdad $2A \ge 3C$: $$2A \ge 3(7) \implies A \ge 10.5$$ Dado que $A$ debe ser un número entero, $A \ge 11$.
2. De la Fórmula de Euler: $$V = A - C + 2 \implies V = A - 5$$
3. Sustituyendo $V$ en la desigualdad $2A \ge 3V$: $$2A \ge 3(A - 5) \implies 2A \ge 3A - 15 \implies 15 \ge A$$

Las condiciones $A \ge 11$ y $A \le 15$ son consistentes. Sin embargo, la demostración de que ningún poliedro puede tener 7 caras requiere restricciones adicionales (como la paridad de los vértices o la existencia de caras con un número específico de lados) que no se derivan únicamente de los apartados (a) y (b). Por lo tanto, la premisa de este subejercicio es incorrecta o requiere herramientas matemáticas más avanzadas que las solicitadas.