Ejercicios de Gravitación y Conservación de la Energía

1. Conservación de la Energía en Caída Libre Gravitatoria

Consideremos un cuerpo que cae desde una altura $h$ hacia la superficie terrestre.

A) Variación de las Energías

• Energía Cinética ($E_c$): $E_c$ aumenta, ya que sobre el cuerpo actúa la Fuerza Gravitatoria del campo terrestre y lo atrae, por lo que adquiere velocidad.
• Energía Potencial Gravitatoria ($U_{grav}$): La energía potencial gravitatoria se define como $U_{grav} = -G \frac{M_t m'}{R_t + h}$. Al disminuir la altura $h$, el valor absoluto de la energía potencial aumenta, pero como es negativa, $U_{grav}$ decrece (se hace más negativa).
• Energía Mecánica ($E_m$): $E_m$ se mantiene constante, ya que sobre el cuerpo solo actúa la Fuerza Gravitatoria, que es una fuerza conservativa.

B) Cálculo de la Velocidad de Impacto ($V$)

Aplicamos el principio de conservación de la Energía Mecánica ($E_m = \text{cte}$):

$$E_{m, \text{inicial}} = E_{m, \text{final}}$$

$$E_{c1} + U_1 = E_{c2} + U_2$$

En el punto inicial (altura $h$): $E_{c1} = 0$ (si parte del reposo). $U_1 = -G \frac{M_t m}{R_t + h}$.

En el punto final (superficie, $R_t$): $E_{c2} = \frac{1}{2} m V^2$. $U_2 = -G \frac{M_t m}{R_t}$.

$$\frac{1}{2} m V^2 - G \frac{M_t m}{R_t} = -G \frac{M_t m}{R_t + h}$$

Despejando la energía cinética:

$$\frac{1}{2} m V^2 = G \frac{M_t m}{R_t} - G \frac{M_t m}{R_t + h}$$

Despejando la velocidad $V$ (simplificando $m$):

$$V = \sqrt{2G M_t \left( \frac{1}{R_t} - \frac{1}{R_t + h} \right)}$$

Para simplificar la expresión, utilizamos la relación $g = G \frac{M_t}{R_t^2}$ (donde $g$ es la aceleración de la gravedad en la superficie):

$$V = \sqrt{2 \left( \frac{G M_t R_t}{R_t^2} - \frac{G M_t R_t^2}{R_t^2 (R_t + h)} \right)} = \sqrt{2 \left( g R_t - \frac{g R_t^2}{R_t + h} \right)}$$

Valor aproximado: $V \approx 1694.9 \text{ m/s}$.

2. Cálculo de la Órbita Geoestacionaria

A) Determinación del Radio Orbital y la Velocidad

Para que un satélite sea geoestacionario, su periodo orbital ($T_{\text{satélite}}$) debe ser igual al periodo de rotación de la Tierra sobre sí misma, $T_{\text{Tierra}} \approx 24 \text{ horas}$.

La Fuerza Gravitatoria ejercida por la Tierra sobre el satélite es la fuerza centrípeta responsable de su trayectoria curvilínea:

$$F_{\text{grav}} = F_{\text{centrípeta}}$$

$$G \frac{M_t M_{\text{sat}}}{(R_t + h)^2} = M_{\text{sat}} \frac{V_{\text{sat}}^2}{R_t + h}$$

Sustituimos la velocidad orbital $V_{\text{sat}} = \frac{2\pi (R_t + h)}{T_{\text{sat}}}$:

$$G \frac{M_t}{R_t + h} = \left( \frac{2\pi (R_t + h)}{T_{\text{sat}}} \right)^2$$

$$G M_t T_{\text{sat}}^2 = 4\pi^2 (R_t + h)^3$$

Despejando el radio orbital $(R_t + h)$:

$$R_t + h = \sqrt[3]{\frac{G M_t T_{\text{sat}}^2}{4\pi^2}}$$

Para facilitar el cálculo, multiplicamos y dividimos por $R_t^2$ y usamos $g = G M_t / R_t^2$:

$$R_t + h = \sqrt[3]{\frac{g R_t^2 T_{\text{sat}}^2}{4\pi^2}}$$

Sustituyendo valores ($g \approx 9.8 \text{ m/s}^2$, $R_t \approx 6400 \text{ km}$, $T_{\text{sat}} = 24 \cdot 3600 \text{ s}$):

$$R_t + h \approx 42340.04 \text{ km}$$

Cálculo de la Velocidad Orbital ($V$):

$$V = \frac{2\pi (R_t + h)}{T_{\text{sat}}} = \frac{2\pi (42340.04 \text{ km})}{24 \text{ h}} \approx 11084.6 \text{ km/h} \approx 3079 \text{ m/s}$$

3. Campo y Potencial Gravitatorio por Superposición

Suponemos que en el punto $C$ hay una masa de prueba de $m'=1 \text{ kg}$. El campo gravitatorio total en $C$ es la suma vectorial de los campos generados por cada masa ($E_{\text{grav}, C} = E_1 + E_2 + E_3 + E_4$). Asumimos que el centro $C$ está a una distancia $R=1 \text{ m}$ de cada masa $M_i$.

A) Cálculo del Campo Gravitatorio ($E_{\text{grav}, C}$)

El campo gravitatorio $E$ se define como $E = G \frac{M}{R^2} \cdot \vec{u}$.

• $E_1 = G \frac{1}{1^2} \cdot \vec{j}$
• $E_2 = G \frac{2}{1^2} \cdot \vec{i}$
• $E_3 = G \frac{3}{1^2} \cdot (-\vec{j})$
• $E_4 = G \frac{4}{1^2} \cdot (-\vec{i})$

Sumatoria vectorial:

$$E_{\text{grav}, C} = (G2\vec{i} - G4\vec{i}) + (G1\vec{j} - G3\vec{j})$$

$$E_{\text{grav}, C} = G(-2\vec{i} - 2\vec{j})$$

Sustituyendo el valor de $G \approx 6.674 \times 10^{-11} \text{ N m}^2/\text{kg}^2$:

$$E_{\text{grav}, C} \approx -1.334 \times 10^{-10} \vec{i} - 1.334 \times 10^{-10} \vec{j} \text{ N/kg}$$

B) Cálculo del Potencial Gravitatorio ($V_{\text{grav}, C}$)

El potencial gravitatorio es una magnitud escalar: $V_{\text{grav}} = -G \frac{M}{R}$.

En $C$, el potencial es la suma escalar de los potenciales individuales:

$$V_{\text{grav}, C} = \sum V_i = -\frac{G}{R} \times (M_1 + M_2 + M_3 + M_4)$$

$$V_{\text{grav}, C} = -\frac{G}{1} \times (1 + 2 + 3 + 4) = -G \cdot 10$$

$$V_{\text{grav}, C} \approx -6.674 \times 10^{-10} \times 10 \approx -6.674 \times 10^{-9} \text{ J/kg}$$

4. Propiedades del Campo Gravitatorio y Velocidad de Escape

A) Naturaleza del Campo Gravitatorio

¿Es el campo gravitatorio conservativo?

Sí, lo es. El campo gravitatorio, cuando se extiende a grandes zonas (a escala planetaria o cósmica), es un campo central y conservativo. La magnitud de la fuerza gravitatoria sigue la ley del inverso del cuadrado: $|F_{\text{grav}}| = G \frac{m m'}{r^2}$.

La Energía Potencial Gravitatoria asociada a este campo es $U_{\text{grav}} = -G \frac{m m'}{r} \text{ Joules}$, y por convención, es siempre negativa (cero en el infinito).

Aproximación de Campo Uniforme:

En zonas limitadas de altura y extensión (cerca de la superficie terrestre, donde la curvatura del campo no es notable), el campo puede aproximarse como uniforme, estacionario y conservativo. En esta aproximación, la Energía Potencial Gravitatoria se calcula como $U_{\text{grav}} = m' g h \text{ Joules}$, la cual es positiva respecto al nivel de referencia $h=0$.

B) Cálculo de la Velocidad de Escape ($V_e$)

La velocidad de escape es la velocidad mínima que debe tener un cuerpo para escapar de la atracción gravitatoria terrestre, asumiendo que no hay roces con el aire. Esto implica que la Energía Mecánica final debe ser cero (el cuerpo llega al infinito con velocidad cero).

Aplicamos la conservación de la Energía Mecánica entre el punto inicial (superficie, $A$) y el infinito ($B$):

$$E_{m, A} = E_{m, B}$$

$$E_{c, A} + U_{\text{grav}, A} = E_{c, B} + U_{\text{grav}, B}$$

En el infinito ($B$): $E_{c, B} = 0$ y $U_{\text{grav}, B} = 0$ (fuera del campo gravitatorio terrestre).

$$\frac{1}{2} m' V_e^2 + \left(-G \frac{M_t m'}{R_t}\right) = 0 + 0$$

$$\frac{1}{2} m' V_e^2 = G \frac{M_t m'}{R_t}$$

Despejando $V_e$ (simplificando $m'$):

$$V_e = \sqrt{\frac{2 G M_t}{R_t}}$$

Utilizando la relación $g = G M_t / R_t^2$:

$$V_e = \sqrt{\frac{2 G M_t R_t}{R_t^2}} = \sqrt{2 g R_t}$$

Valor aproximado: $V_e \approx 11200 \text{ m/s}$.

5. Aplicación de la Conservación del Momento Lineal (Colisión Inelástica)

Consideramos una colisión inelástica (bala y bloque) seguida de un movimiento ascendente (péndulo balístico).

Datos:

• Masa de la bala: $M_b = 20 \text{ g} = 0.02 \text{ kg}$
• Masa del bloque: $M_{bl} = 2 \text{ kg}$
• Altura máxima alcanzada: $h = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$
• $V_1$: Velocidad de la bala antes del impacto.
• $V_2$: Velocidad del conjunto bala-bloque inmediatamente después del impacto.
• $V_3 = 0$: Velocidad en la altura máxima $h$.

Paso 1: Conservación de la Energía Mecánica (Post-colisión)

El conjunto (bala + bloque) se mueve desde la velocidad $V_2$ hasta la altura máxima $h$.

$$\frac{1}{2} (M_b + M_{bl}) V_2^2 = (M_b + M_{bl}) g h$$

$$V_2 = \sqrt{2 g h}$$

Paso 2: Conservación del Momento Lineal (Colisión)

Aplicando el principio de conservación del momento lineal durante la colisión:

$$M_b V_1 = (M_b + M_{bl}) V_2$$

Sustituimos $V_2$ de la ecuación anterior:

$$M_b V_1 = (M_b + M_{bl}) \sqrt{2 g h}$$

Despejando la velocidad inicial de la bala $V_1$:

$$V_1 = \frac{(M_b + M_{bl}) \sqrt{2 g h}}{M_b}$$

Paso 3: Cálculo Numérico

$$V_1 = \frac{(0.02 + 2) \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 0.1}}{0.02}$$

$$V_1 = \frac{2.02 \cdot \sqrt{1.96}}{0.02} = \frac{2.02 \cdot 1.4}{0.02}$$

$$V_1 \approx 141.4 \text{ m/s}$$