Fundamentos de Hidrodinámica y Termodinámica: Ecuaciones Clave y Fenómenos Físicos

Ecuación de Continuidad y Principio de Bernoulli

La Ecuación de Continuidad establece que:

$$A_1v_1 = A_2v_2 = A_3v_3$$

Para el caso donde las áreas son iguales ($$A_1 = A_2 = A_3$$), se concluye que las velocidades también son iguales: $$v_1 = v_2 = v_3$$.

Esto facilita la aplicación de la ecuación de Bernoulli para determinar las presiones, utilizando la relación hidrostática:

$$p + \rho gh = \text{constante}$$

Considerando la presión en el extremo abierto como $$p_3 = 1013 \text{ hPa}$$ y la altura de referencia $$h_3 = 0$$.

Cálculos de Presión y Velocidad

a) Presión en el punto 2

Aplicando la relación hidrostática entre el punto 2 y el punto 3:

$$p_2 + \rho gh_2 = p_3$$

$$p_2 = p_3 - \rho gh_2 = 101300 \text{ Pa} - (1000 \text{ kg/m}^3 \cdot 9.81 \text{ m/s}^2 \cdot 8 \text{ m}) = 22820 \text{ Pa}$$

b) Presión en el punto 1

De manera similar:

$$p_1 = p_3 - \rho gh_1 = 101300 \text{ Pa} - (1000 \text{ kg/m}^3 \cdot 9.81 \text{ m/s}^2 \cdot 5 \text{ m}) = 52250 \text{ Pa}$$

c) Cálculo de Velocidad y Caudal

Para determinar la velocidad $$v_1$$, se compara el punto 1 con la superficie del depósito (donde la velocidad es cero, asumiendo un depósito muy grande):

$$\text{patm} + \frac{1}{2} \rho v_{\text{sup}}^2 = p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2$$

Como $$v_{\text{sup}} \approx 0$$:

$$v_1 = \sqrt{\frac{2(p_{\text{atm}} - p_1)}{\rho}} = 9.9 \text{ m/s}$$

Caudal ($$C$$):

$$C = A v = \pi r^2 v = \pi \cdot (0.03 \text{ m})^2 \cdot 9.9 \text{ m/s} \approx 0.028 \text{ m}^3/\text{s} \quad (28 \text{ l/s})$$

Desnivel Máximo y Movimiento Oscilatorio

Se analiza un sistema oscilatorio (posiblemente relacionado con un flotador o un resorte, aunque el contexto es breve):

a) Parámetros de Oscilación

• La condición de que $$p_2$$ sea siempre positivo implica una restricción en la altura máxima ($$h_{max}$$).
• Se mencionan valores de desplazamiento y velocidad máxima: $$x_{\text{max}} = 0.2 \text{ m}$$ y $$v_{\text{max}} = A\omega = 0.6 \text{ m/s}$$.
• Cálculo de la frecuencia angular ($$\omega$$): $$\omega = \frac{v_{\text{max}}}{x_{\text{max}}} = \frac{0.6 \text{ m/s}}{0.2 \text{ m}} = 3 \text{ s}^{-1}$$
• Cálculo del Periodo ($$T$$): $$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{3 \text{ s}^{-1}} \approx 2.09 \text{ s}$$

b) Energía Cinética Máxima

Para una masa de $$m = 1 \text{ kg}$$, la energía cinética máxima es:

$$E_{\text{cinética, máx}} = \frac{1}{2} m v_{\text{max}}^2 = 0.5 \cdot 1 \text{ kg} \cdot (0.6 \text{ m/s})^2 = 0.18 \text{ Nm}$$

c) Periodo de un Péndulo y Longitud

Relacionando con el periodo de un péndulo ($$T = 2\pi\sqrt{l/g}$$), la frecuencia angular es $$\omega = \sqrt{g/l}$$:

La longitud del péndulo ($$l$$) se calcula como:

$$l = \frac{g}{\omega^2} = \frac{9.81 \text{ m/s}^2}{(3 \text{ s}^{-1})^2} = \frac{9.81}{9} \text{ m} \approx 1.09 \text{ m}$$

Expansión Adiabática

Para un proceso adiabático, se utiliza la relación $$pV^\gamma = \text{constante}$$, donde el coeficiente adiabático es $$\gamma = (f+2)/f = 1.4$$ (para un gas ideal diatómico).

a) Presión Final

$$p_f V_f^\gamma = p_i V_i^\gamma \implies p_f = p_i \left(\frac{V_i}{V_f}\right)^\gamma$$

Si $$p_i = 1013 \text{ hPa}$$, $$V_i = 0.5 \text{ m}^3$$ y $$V_f = 2 \text{ m}^3$$:

$$p_f = 1013 \text{ hPa} \cdot \left(\frac{0.5}{2}\right)^{1.4} \approx 145 \text{ hPa}$$

b) Temperatura Final

Usando la relación derivada de la ley de los gases ideales ($$pV=nRT$$):

$$T_f V_f^{\gamma-1} = T_i V_i^{\gamma-1} \implies T_f = T_i \left(\frac{V_i}{V_f}\right)^{\gamma-1}$$

Si $$T_i = 300 \text{ K}$$:

$$T_f = 300 \text{ K} \cdot \left(\frac{0.5}{2}\right)^{0.4} \approx 172 \text{ K}$$

c) Trabajo Mecánico de la Expansión

El trabajo realizado ($$W_{\text{ad}}$$) se calcula a partir del primer principio ($\Delta Q = 0$) o mediante la fórmula específica para procesos adiabáticos:

$$W_{\text{ad}} = \frac{p_f V_f - p_i V_i}{\gamma - 1}$$

$$W_{\text{ad}} = \frac{(14500 \text{ Pa} \cdot 2 \text{ m}^3) - (101300 \text{ Pa} \cdot 0.5 \text{ m}^3)}{0.4} = -54 \text{ kJ}$$

Nota sobre el signo: El signo negativo indica que el gas realiza trabajo sobre el entorno y pierde energía interna. El trabajo realizado por el gas es de $$54 \text{ kJ}$$.

d) Transferencia de Calor

$$\Delta Q = 0$$ (Por definición, el proceso es adiabático).

Fenómenos de Interfase y Dinámica de Oscilaciones

Fenómeno de Ascenso Capilar (Ley de Jurin)

La Ley de Jurin describe el ascenso capilar. Si el líquido moja la superficie, la fuerza superficial ascendente ($$F_{\text{sub}}$$) es mayor que la fuerza gravitatoria descendente ($$F_{\text{c}}$$), provocando que el líquido ascienda en un tubo de diámetro menor.

Este fenómeno depende de:

• La tensión superficial del líquido (naturaleza y temperatura).
• El ángulo de contacto.
• El radio del tubo.
• La densidad del líquido.

Observación: Una menor temperatura generalmente aumenta la tensión superficial, lo que incrementa la capilaridad.

Análisis de la Posición de Equilibrio en Oscilaciones

En la posición de equilibrio ($$x = 0$$):

La fuerza restauradora no es nula (a menos que sea el punto de equilibrio estático sin fuerzas externas). Lo que sí es cierto es que la velocidad no es nula; por el contrario, en la posición de equilibrio (máximo desplazamiento en el sentido opuesto), la velocidad es máxima.

En este punto:

1. Toda la energía potencial ($$U$$) de la oscilación se ha convertido en energía cinética ($$K$$).
2. La energía mecánica total es la suma de la energía potencial y la energía cinética: $$E_{\text{total}} = U + K$$