Fundamentos de Inercia en Sistemas Materiales: Conceptos y Aplicaciones

1. Sistemas Materiales y sus Momentos de Inercia

Definición: El momento de inercia de un sistema material se define respecto a un punto (O), un eje (e) o un plano (π). Se representa generalmente como I.

Momento Polar de Inercia

Respecto a un punto O: I_O = ∑ m_ir_i² (donde r_i es la distancia de la partícula i al punto O).

Momento Planar de Inercia

Respecto a un plano π: I_π = ∑ m_id_i² (donde d_i es la distancia de la partícula i al plano π).

Momento Axial de Inercia

Respecto a un eje e: I_e = ∑ m_iρ_i² (donde ρ_i es la distancia de la partícula i al eje e).

Producto de Inercia

Respecto a dos planos perpendiculares (por ejemplo, π y λ): P_πλ = ∑ m_id_πid_λi (donde d_πi y d_λi son las distancias de la partícula i a los planos π y λ, respectivamente).

2. Relaciones Fundamentales de los Momentos de Inercia

Relación 1: Momento Polar y Planos Ortogonales

El momento polar de inercia respecto a un punto O es la suma de los momentos planares de inercia respecto a tres planos ortogonales que se cortan en O.

I_O = I_xy + I_yz + I_zx

Relación 2: Momento Axial y Planos Ortogonales

El momento axial de inercia respecto a un eje e es la suma de los momentos planares de inercia respecto a dos planos ortogonales que se cortan en e. Por ejemplo, para el eje x, si los planos son xy y xz, entonces I_x = I_xy + I_xz. (La fórmula original I_x = I_O - I_yx + I_zx parece ser una notación particular o un error tipográfico; una relación común es I_x = I_O - I_yz, donde I_yz es el momento planar respecto al plano yz).

Relación 3: Momento Polar, Axial y Planar

El momento polar de inercia respecto a un punto O puede relacionarse con un momento axial y un momento planar, siempre que el plano y el eje contengan a O. Por ejemplo: I_O = I_x + I_yz (donde I_x es el momento axial respecto al eje x e I_yz es el momento planar respecto al plano yz).

Relación 4: Producto de Inercia y Planos de Simetría

El producto de inercia respecto a dos planos perpendiculares es nulo si uno de los planos es un plano de simetría para el sistema material.

Esto implica que, si un plano es de simetría, para cada partícula j con masa m_j y vector de posición OA_j, existe una partícula simétrica k con masa m_k = m_j y vector de posición OA_k tal que:

• OA_j · u = -OA_k · u
• OA_j · v = -OA_k · v

(Donde u y v son vectores unitarios normales a los planos de referencia).

Relación 5: Casos Especiales (Puntos en el Infinito)

Se considera el momento de inercia de un punto, recta o plano cuando el punto de referencia se encuentra en el infinito. (Esta es una conceptualización avanzada que simplifica ciertas formulaciones en mecánica).

3. Sistemas Materiales Continuos

Para un sistema material continuo, la densidad (δ) se considera constante en el volumen V.

Momentos de Inercia para Cuerpos Continuos

• Momento Polar (respecto al origen O):
  I_O = ∫_V (x² + y² + z²) δ dV
• Momento Planar (respecto al plano xy):
  I_xy = ∫_V z² δ dV
• Momento Axial (respecto al eje x):
  I_x = ∫_V (y² + z²) δ dV

El término C_z (a menudo un producto de inercia) se puede expresar como: C_z = P_zx / yz (Esta notación puede variar según la convención).

4. Teorema de Steiner (Teorema de los Ejes Paralelos)

El Teorema de Steiner establece las relaciones entre los momentos de inercia (polar I_O, planar I_π, axial I_e) y los productos de inercia (P_πλ) calculados respecto a un punto, eje o plano arbitrario, y los obtenidos respecto al centro de masas (CDM) o centro de gravedad (CDG) del sistema, utilizando ejes o planos paralelos que pasen por el CDM/CDG.

• Momento Polar:
  I_O = I_G + M(OG)²
  (Donde I_G es el momento polar respecto al CDM/CDG G, M es la masa total del sistema y OG es la distancia entre O y G).
• Momento Planar:
  I_π = I_πG + M(d_π)²
  (Donde I_πG es el momento planar respecto a un plano paralelo que pasa por G, y d_π es la distancia entre los planos).
• Momento Axial:
  I_e = I_eG + M(d_e)²
  (Donde I_eG es el momento axial respecto a un eje paralelo que pasa por G, y d_e es la distancia entre los ejes).
• Producto de Inercia:
  P_πλ = P_πλG + M d_π d_λ
  (Donde P_πλG es el producto de inercia respecto a planos paralelos que pasan por G, y d_π, d_λ son las distancias entre los pares de planos).

5. Tensor Planar de Inercia de un Punto

Para un punto A_i con vector de posición OA_i = X_ii + Y_ij + Z_ik, y vectores unitarios u y v:

• u = αi + βj + δk
• v = α'i + β'j + δ'k

6. Tensor Axial de Inercia en un Punto

El momento axial de inercia I_e respecto a un eje e puede expresarse en términos del tensor de inercia [I] (o [J_O] en algunas notaciones) y el vector unitario u que define la dirección del eje:

I_e = I_O - I_π = I_O - {u}^T [J_O] {v} (Esta expresión parece ser una combinación de diferentes formulaciones o una notación muy específica. Una forma común es I_e = {u}^T [I] {u}, donde [I] es el tensor de inercia y {u} es el vector unitario del eje).

La expresión original: I_e = I_O - I_π = I_O - {u}[J_O]{v} = I_O{u}[I]{v} - {u}[J_O]{v} = {u}^T |I_O[I] - [J_O]| {v} = {u} [I_O] {u}

7. Elipsoide Planar y Axial de Inercia

El elipsoide de inercia es una representación geométrica que permite visualizar la distribución de la inercia de un cuerpo alrededor de un punto. Existen elipsoides planares y axiales, que describen la inercia respecto a planos y ejes, respectivamente.

9. Cuerpos Planos, Elipse de Inercia y Direcciones Principales

Para cuerpos planos (en el plano xy, por ejemplo), los momentos de inercia se simplifican:

• I_x = I_zx + I_xy = I_zx (Momento axial respecto al eje x)
• I_y = I_yz + I_xy = I_yz (Momento axial respecto al eje y)
• I_O = I_xz + I_yz = I_x + I_y = I_z (Momento polar respecto al origen O, o momento axial respecto al eje z perpendicular al plano)

Elipse de Inercia

La ecuación de la elipse de inercia en el plano xy, centrada en el origen, se puede expresar matricialmente como:

{x  y  0} [Ix  -Cz  0] {x} = 1
           [-Cz  Iy  0] {y}
           [0    0   Iz] {0}

Expandiendo la forma matricial, la ecuación de la elipse de inercia es:

I_xx² + I_yy² - 2C_zxy = 1

Momento Axial para una Dirección Arbitraria

El momento axial I_e para cualquier dirección definida por un ángulo ζ (con respecto al eje x) se calcula como:

Ie = {cosζ  senζ  0} [Ix  -Cz  0] {cosζ}
                           [-Cz  Iy  0] {senζ}
                           [0    0   Iz] {0}

8. Direcciones Principales de Inercia

Ecuación de un Elipsoide General

La ecuación de un elipsoide general (o triaxial) centrado en el origen, con sus ejes alineados con los ejes coordenados, es:

{x  y  z} [1/a2  0      0   ] {x} = 1
           [0      1/b2  0   ] {y}
           [0      0      1/c2] {z}

• Si dos términos de la diagonal son iguales (ej., a = b), el elipsoide es de revolución (con sección circular).
• Si los tres términos de la diagonal son iguales (ej., a = b = c), el elipsoide es una esfera.
• Si un término de la diagonal es nulo (ej., 1/c² = 0), la superficie degenera en un cilindro de sección circular o elíptica.
• Si dos términos de la diagonal son nulos, la superficie degenera en dos planos paralelos.
• Cuando los ejes del elipsoide coinciden con los ejes coordenados (x, y, z), el tensor de inercia es diagonal.
• Estos ejes se denominan ejes principales de inercia, y sus direcciones son las direcciones principales de inercia. En este caso, el tensor de inercia se encuentra en su forma canónica (diagonal).

Diagonalización del Tensor de Inercia

Para encontrar las direcciones principales de inercia, se debe diagonalizar el tensor de inercia. Esto se resuelve como un problema de valores propios:

[J_O] {v} = λ{v}

Donde [v] = [{v₁} {v₂} {v₃}] es la matriz cuyas columnas son los vectores propios (las direcciones principales).

La diagonalización transforma el tensor a una matriz diagonal, donde los elementos de la diagonal son los momentos principales de inercia (valores propios):

[v]-1 [JO] [v] = [λ1  0       0    ]
                     [0       λ2  0    ]
                     [0       0       λ3]