Fundamentos de Inferencia Estadística: Cálculo de Probabilidades y Muestras

Recopilación de Ejercicios de Inferencia Estadística

A continuación, se presentan seis problemas fundamentales de estadística inferencial, cubriendo distribuciones muestrales, intervalos de confianza y determinación del tamaño de la muestra, con sus respectivas soluciones y notación corregida.

Problema 1: Probabilidad de la Media Muestral (Distribución Normal)

La estatura de los socios de un club tiene una media $\mu=175\text{ cm}$ y una desviación típica $\sigma=10\text{ cm}$. Si se elige una muestra de $n=64$ socios, ¿cuál es la probabilidad de que la media de la muestra sea menor o igual que $173\text{ cm}$?

Datos y Aproximación

• Media poblacional ($\mu$): $175\text{ cm}$
• Desviación típica poblacional ($\sigma$): $10\text{ cm}$
• Tamaño de la muestra ($n$): $64$

Dado que $n=64 \ge 30$, la distribución de las medias muestrales ($\bar{X}$) se aproxima a una normal $N(\mu, \sigma/\sqrt{n})$.

Cálculo de la desviación estándar de la media muestral (Error Estándar):

$\sigma_{\bar{X}} = 10 / \sqrt{64} = 10 / 8 = 1,25$

La distribución es $\bar{X} \sim N(175; 1,25)$.

Cálculo de la Probabilidad

Buscamos $P(\bar{X} \le 173)$. Tipificando la variable:

$P(\bar{X} \le 173) = P\left( Z \le \frac{173 - 175}{1,25} \right)$

$P(\bar{X} \le 173) = P(Z \le -1,6)$

Problema 2: Intervalo de Confianza para la Media

En una muestra de $100$ jóvenes se ha obtenido que el peso medio es de $69\text{ kg}$. Sabiendo que la desviación típica de la población es $8\text{ kg}$, halle el intervalo de confianza para la media de la población con un nivel de significación de $0,05$.

Datos y Nivel de Confianza

• Media muestral ($\bar{X}$): $69\text{ kg}$
• Desviación típica poblacional ($\sigma$): $8\text{ kg}$
• Tamaño de la muestra ($n$): $100$
• Nivel de significación ($\alpha$): $0,05$
• Nivel de confianza ($1-\alpha$): $0,95$
• Valor crítico ($Z_{\alpha/2}$): $1,96$

Cálculo del Intervalo

La fórmula del intervalo de confianza es: $IC = \bar{X} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

Sustituyendo valores:

$IC = \left( 69 - 1,96 \cdot \frac{8}{\sqrt{100}}, \quad 69 + 1,96 \cdot \frac{8}{\sqrt{100}} \right)$

$IC = \left( 69 - 1,96 \cdot 0,8, \quad 69 + 1,96 \cdot 0,8 \right)$

Problema 3: Cálculo del Tamaño Mínimo de la Muestra (Media)

Se quieren estimar las ventas diarias que se hacen en una tienda con un nivel de confianza del $90\%$ y cuyo error máximo de la estimación ($E$) sea de $200\text{ euros}$. Calcule el número mínimo de días que se deben contabilizar las ventas, sabiendo que la desviación típica es de $500\text{ euros}$.

Datos y Valor Crítico

• Desviación típica ($\sigma$): $500\text{ euros}$
• Error máximo ($E$): $200\text{ euros}$
• Nivel de confianza ($1-\alpha$): $0,90$
• Valor crítico ($Z_{\alpha/2}$): $1,65$

Cálculo del Tamaño Muestral ($n$)

La fórmula para el tamaño muestral es: $n = \left( \frac{Z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$

Sustituyendo valores:

$n = \left( \frac{1,65 \cdot 500}{200} \right)^2$

$n = (1,65 \cdot 2,5)^2 = (4,125)^2 \approx 17,0156$

El número mínimo de días que se deben contabilizar es $18$.

Problema 4: Probabilidad de la Proporción Muestral

El $3\%$ de las piezas fabricadas por una máquina es defectuoso ($p=0,03$). ¿Cuál es la probabilidad de que, en una muestra de $50$ piezas, el $2\%$ o menos sea defectuoso?

Datos y Distribución

• Proporción poblacional ($p$): $0,03$
• Proporción complementaria ($q$): $1 - 0,03 = 0,97$
• Tamaño de la muestra ($n$): $50$

La distribución de las proporciones muestrales ($\hat{p}$) se aproxima a una normal $N(p, \sqrt{p \cdot q / n})$.

Cálculo de la desviación estándar de la proporción muestral:

$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{0,03 \cdot 0,97}{50}} \approx 0,02412$

Cálculo de la Probabilidad

Buscamos $P(\hat{p} \le 0,02)$. Tipificando la variable:

$P(\hat{p} \le 0,02) = P\left( Z \le \frac{0,02 - 0,03}{0,02412} \right)$

$P(\hat{p} \le 0,02) = P(Z \le -0,414)$

Problema 5: Intervalo de Confianza para la Proporción

Se ha tomado una muestra de $40$ olivos y se han contabilizado $18$ de ellos con repilo. Halle el intervalo de confianza para la proporción de olivos con repilo en la población, con un nivel de confianza del $99\%$.

Datos y Proporciones Muestrales

• Tamaño de la muestra ($n$): $40$
• Casos favorables ($x$): $18$
• Proporción muestral ($\hat{p}$): $18/40 = 0,45$
• Proporción complementaria ($\hat{q}$): $1 - 0,45 = 0,55$
• Nivel de confianza ($1-\alpha$): $0,99$
• Valor crítico ($Z_{\alpha/2}$): $2,58$

Cálculo del Intervalo

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $IC = \hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$

Sustituyendo valores:

$IC = \left( 0,45 - 2,58 \cdot \sqrt{\frac{0,45 \cdot 0,55}{40}}, \quad 0,45 + 2,58 \cdot \sqrt{\frac{0,45 \cdot 0,55}{40}} \right)$

Problema 6: Cálculo del Tamaño Mínimo de la Muestra (Proporción)

Se sabe por una encuesta piloto que la proporción de usuarios que valora positivamente el uso de un modelo de ordenador es $p=0,45$. Calcule el tamaño de la muestra que ha de tomar para estimar esta proporción con un nivel de confianza del $95\%$ y que el error máximo de la estimación ($E$) sea del $0,5\%$.

Nota: Se asume que el error máximo es $E=0,005$ (0,5%), basándose en el cálculo proporcionado.

Datos y Valor Crítico

• Proporción estimada ($p$): $0,45$
• Proporción complementaria ($q$): $0,55$
• Nivel de confianza ($1-\alpha$): $0,95$
• Valor crítico ($Z_{\alpha/2}$): $1,96$
• Error máximo ($E$): $0,005$

Cálculo del Tamaño Muestral ($n$)

La fórmula para el tamaño muestral es: $n = \frac{(Z_{\alpha/2})^2 \cdot p \cdot q}{E^2}$

Sustituyendo valores:

$n = \frac{(1,96)^2 \cdot 0,45 \cdot 0,55}{(0,005)^2}$

$n = \frac{3,8416 \cdot 0,2475}{0,000025}$

$n \approx 37.934,8$

El tamaño mínimo de la muestra debe ser $37.935$ usuarios.