Fundamentos de Lógica y Matemáticas: Conceptos Esenciales

Métodos Fundamentales del Pensamiento

Método de las Matemáticas

La matemática es una ciencia formal constituida por una pluralidad de proposiciones llamadas tesis del sistema.

Conceptos Clave en Matemáticas

Axiomas

Principio evidente que no necesita demostración. Ejemplo: "El todo es mayor que la parte".

Teoremas

Proposición que se demuestra a partir de axiomas o de otros teoremas ya demostrados. Ejemplo: Teorema de Pitágoras.

Postulado

Principio ni evidente ni demostrable cuya verdad no se cuestiona, sino que se establece como fundamento de todas las demás proposiciones. Ejemplo: El postulado de Euclides.

Método de la Lógica

La lógica es la ciencia que trata los principios básicos del razonamiento y la argumentación. El estudio de la lógica es el esfuerzo por determinar las condiciones que justifican a una persona para pasar de unas proposiciones (llamadas premisas) a una conclusión que se deriva de estas.

Lo que interesa a la lógica es si el tercer enunciado, es decir, la inferencia, se deduce o no de los dos primeros enunciados. La lógica es una actividad de la inteligencia y, por tanto, exige las tres funciones de la inteligencia lógico-abstracta: conceptuación, judicación y razonamiento.

Causas de la Falibilidad

• Si una premisa es falsa, la conclusión a la que llegaremos será falsa.
• Si todas las premisas son verdaderas, pero nos equivocamos en el razonamiento, la conclusión a la que llegaremos será falsa.

Tipos de Proposiciones

Se suelen clasificar atendiendo a su cualidad y cantidad:

• A: Universal y afirmativa - Ejemplo: "Todo pin es pan".
• E: Universal y negativa - Ejemplo: "Ningún pin es pan".
• I: Particular y afirmativa - Ejemplo: "Algún pin es pan".
• O: Particular y negativa - Ejemplo: "Algún pin no es pan".

Lógica de Proposiciones

Relaciones entre proposiciones:

Contrarias

Si una es verdadera, la otra es falsa. Si una es falsa, la otra no sabemos.

Subcontrarias

Si una es falsa, la otra es verdadera. Si una es verdadera, la otra no sabemos.

Subalternas

Si la mayor es falsa, la otra no sabemos. Si la mayor es verdadera, la menor también. Si la menor es falsa, la mayor también. Si la menor es verdadera, la otra no sabemos.

Contradictorias

Si una es verdadera, la otra es falsa y viceversa.

Silogismos

Tipo de razonamiento propio de la lógica de proposiciones, compuesto de dos premisas y una conclusión.

Elementos del Silogismo

• Se llama término medio (Z) a aquel que se repite en las premisas y no entra en la conclusión.
• Se llama término mayor (X) a aquel que aparece como predicado en la conclusión, independientemente del papel que desempeña en la premisa de la cual forma parte.
• Se llama término menor (Y) a aquel que aparece como sujeto de la conclusión.