Fundamentos de Lógica Proposicional: Operadores y Reglas de Inferencia Esenciales

Escrito el 7 de Mayo de 2025 en español con un tamaño de 11,37 KB

Operadores Lógicos Fundamentales

Entender los operadores lógicos es crucial para construir y evaluar argumentos válidos. A continuación, se describen los principales conectores y sus condiciones de verdad (donde V significa Verdadero y F significa Falso):

Disyunción Exclusiva (XOR) (Originalmente p >-< q): Simbología común: p ⊕ q, p XOR q, o p ≠ q.
Una proposición compuesta p ⊕ q es verdadera (V) si y solo si una de las proposiciones (p o q) es verdadera, pero no ambas.
Conjunción (Y) (Originalmente ^): Simbología común: p ∧ q, p · q, o pq.
Una proposición compuesta p ∧ q es verdadera (V) si y solo si ambas proposiciones (p y q) son verdaderas.
Disyunción (O) (Originalmente v): Simbología común: p ∨ q, p + q.
Una proposición compuesta p ∨ q es falsa (F) si y solo si ambas proposiciones (p y q) son falsas. Es verdadera en todos los demás casos.
Condicional (Si... entonces...) (Originalmente p -> q): Simbología común: p → q, p ⊃ q.
Una proposición compuesta p → q es falsa (F) si y solo si la primera proposición (antecedente, p) es verdadera y la segunda proposición (consecuente, q) es falsa. Es verdadera en todos los demás casos.
Negación (NO) (Originalmente ¬): Simbología común: ¬p, ~p, p'.
Invierte el valor de verdad de la proposición. Si p es V, ¬p es F, y viceversa.
Bicondicional (Si y solo si) (Originalmente p <-> q): Simbología común: p ↔ q, p ≡ q.
Una proposición compuesta p ↔ q es verdadera (V) si y solo si ambas proposiciones (p y q) tienen el mismo valor de verdad (ambas V o ambas F).
Negación Conjunta (NAND) (Originalmente |): Simbología común: p &uparrow; q, p | q (Barra de Sheffer).
Es la negación de la conjunción: ¬(p ∧ q). Una proposición compuesta p &uparrow; q es falsa (F) si y solo si ambas proposiciones (p y q) son verdaderas. Es verdadera en los demás casos.

Reglas de Inferencia Lógica

Las reglas de inferencia son formas de argumento lógicamente válidas que permiten derivar conclusiones a partir de premisas. Son fundamentales para las demostraciones formales.

Modus Ponendo Ponens (PP): Afirmando el antecedente. Si se tiene una implicación (p → q) y se afirma la verdad del antecedente (p), se puede concluir la verdad del consecuente (q).
Esquema:
1. p → q (Premisa)
2. p (Premisa)
3. Por lo tanto, q (Conclusión)
Doble Negación (DN): Una proposición es lógicamente equivalente a la negación de su negación (p ↔ ¬¬p). Esta regla permite introducir o eliminar dobles negaciones para simplificar expresiones.
Ejemplo: ¬¬p se puede reemplazar por p, y p por ¬¬p.
Modus Tollendo Tollens (TT): Negando el consecuente. Si se tiene una implicación (p → q) y se afirma la negación del consecuente (¬q), se puede concluir la negación del antecedente (¬p).
Esquema:
1. p → q (Premisa)
2. ¬q (Premisa)
3. Por lo tanto, ¬p (Conclusión)
Adjunción (A) o Conjunción: Si se tienen dos proposiciones p y q como premisas verdaderas por separado, se puede concluir su conjunción (p ∧ q).
Esquema:
1. p (Premisa)
2. q (Premisa)
3. Por lo tanto, p ∧ q (Conclusión)
Simplificación (S): De una conjunción (p ∧ q) que se sabe verdadera, se puede inferir la verdad de cualquiera de sus componentes individuales (p, o q).
Esquema:
1. p ∧ q (Premisa)
2. Por lo tanto, p (Conclusión) O también: Por lo tanto, q (Conclusión)
Modus Tollendo Ponens (TP) o Silogismo Disyuntivo: Afirmando mediante la negación. Si se tiene una disyunción (p ∨ q) como verdadera y se afirma la negación de uno de sus componentes (por ejemplo, ¬p), se puede concluir la verdad del otro componente (q).
Esquema:
1. p ∨ q (Premisa)
2. ¬p (Premisa)
3. Por lo tanto, q (Conclusión)
(También: Si p ∨ q y ¬q, entonces p)
Adición (LA) o Ley de Adición: Dada una proposición p que se sabe verdadera, se puede inferir su disyunción con cualquier otra proposición q (es decir, p ∨ q). La proposición q puede ser cualquier enunciado, verdadero o falso.
Esquema:
1. p (Premisa)
2. Por lo tanto, p ∨ q (Conclusión, donde q es cualquier proposición)
Silogismo Hipotético (SH): Si se tienen dos condicionales tales que el consecuente del primero es idéntico al antecedente del segundo (p → q y q → r), se puede concluir un nuevo condicional donde el antecedente es el del primero y el consecuente es el del segundo (p → r). Es una forma de transitividad de la implicación.
Esquema:
1. p → q (Premisa)
2. q → r (Premisa)
3. Por lo tanto, p → r (Conclusión)
Ley del Silogismo Disyuntivo (SD) o Dilema Constructivo: Si se tienen dos implicaciones (p → q y r → s) y la disyunción de sus antecedentes (p ∨ r), se puede concluir la disyunción de sus consecuentes (q ∨ s).
Esquema:
1. p → q (Premisa)
2. r → s (Premisa)
3. p ∨ r (Premisa)
4. Por lo tanto, q ∨ s (Conclusión)
Nota: La descripción original ("cambiar los valores de la disyunción 'v' dándotelos en otras premisas. Tienes que poder cambiar las 2 partes") era ambigua. Esta es una interpretación común de una regla más compleja que el Modus Tollendo Ponens, a menudo llamada Dilema Constructivo.
Simplificación Disyuntiva (SpD) o Idempotencia de la Disyunción: De una disyunción donde ambos componentes son idénticos (p ∨ p), se puede simplificar a un solo componente (p). Lo mismo aplica para la conjunción (p ∧ p ↔ p).
Esquema (para disyunción):
1. p ∨ p (Premisa)
2. Por lo tanto, p (Conclusión)
Leyes Conmutativas (LC): El orden de los operandos no altera el resultado en conjunciones y disyunciones.
- (p ∧ q) ↔ (q ∧ p)
- (p ∨ q) ↔ (q ∨ p)
Leyes de De Morgan (LDM): Permiten transformar la negación de una conjunción en una disyunción de negaciones, y la negación de una disyunción en una conjunción de negaciones.
- ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q)
- ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q)
Leyes del Bicondicional (LB) o Equivalencia Material: Un bicondicional (p ↔ q) es verdadero si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Se puede expresar y utilizar de las siguientes formas:
- (p ↔ q) ↔ ((p → q) ∧ (q → p)) (Definición del bicondicional)
- (p ↔ q) ↔ ((p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)) (Otra forma de equivalencia)
Esto permite, por ejemplo, derivar p → q (o q → p) a partir de p ↔ q, o viceversa, construir p ↔ q si se tienen ambas implicaciones.
Prueba por Reducción al Absurdo (RAA) o Prueba Indirecta: Para demostrar una proposición p, se asume temporalmente su negación (¬p) como una premisa auxiliar. Si esta suposición, junto con las premisas originales, conduce a una contradicción (una proposición de la forma q ∧ ¬q, que es siempre falsa), se concluye que la suposición original (¬p) debe ser falsa. Por lo tanto, p debe ser verdadera.

Conceptos Clave en Demostraciones Lógicas

Premisa Auxiliar

Una premisa auxiliar es una suposición que se introduce temporalmente en el curso de una demostración lógica. No es una de las premisas originales del argumento, sino una hipótesis que se adopta con el fin de explorar sus consecuencias lógicas. Es fundamental en métodos como la Prueba por Reducción al Absurdo (donde se supone la negación de la conclusión deseada) y la Demostración Condicional (donde se supone el antecedente de la implicación que se desea probar).

Demostración Condicional (DC)

La demostración condicional (también conocida como Teorema de la Deducción o Prueba Condicional) es una técnica utilizada para probar una proposición condicional de la forma p → q. El método consiste en asumir p (el antecedente) como una premisa auxiliar y, a partir de esta suposición y las premisas originales, derivar lógicamente q (el consecuente). Si se logra derivar q bajo la suposición de p, se puede concluir válidamente que p → q.

Nota sobre Contradicciones

Cuando, en el transcurso de una demostración (especialmente en una Prueba por Reducción al Absurdo), se llega a una conclusión contradictoria (por ejemplo, se deriva tanto una proposición r como su negación ¬r, lo que implica la contradicción r ∧ ¬r), esto significa que al menos una de las suposiciones hechas para llegar a esa contradicción es falsa. Si la contradicción se deriva de haber supuesto ¬p (la negación de lo que se quería demostrar), entonces se establece que ¬p es falsa, y por lo tanto, la proposición original p es verdadera.