Fundamentos de Lógica Proposicional: Reglas de Inferencia y Deducción Natural

Leyes Fundamentales de la Lógica Proposicional

Este documento presenta una colección de reglas de inferencia y leyes lógicas fundamentales, estructuradas por el operador principal al que pertenecen. Cada sección detalla la formulación de la regla y, en muchos casos, una demostración paso a paso utilizando un sistema de deducción natural.

Operador de Disyunción (V)

Commutatividad de la Disyunción (CD)

La disyunción es conmutativa, lo que significa que el orden de los operandos no altera el resultado.

1. Premisa: a V b = b V a
2. Derivación 1: De a V b a b V a
   1. a (Asunción)
   2. b V a (ID(2) - Introducción de Disyunción)
   3. b (Asunción)
   4. a V b (ID(3) - Introducción de Disyunción)
   5. b V a (ED(1,2-3,4-5) - Eliminación de Disyunción)
3. Derivación 2: De b V a a a V b
   1. b (Asunción)
   2. a V b (ID(2) - Introducción de Disyunción)
   3. a (Asunción)
   4. a V b (ID(4) - Introducción de Disyunción)
   5. a V b (ED(1,2-3,4-5) - Eliminación de Disyunción)

Asociatividad de la Disyunción (AD)

La disyunción es asociativa, permitiendo agrupar los operandos de diferentes maneras sin cambiar el valor de verdad.

1. Premisa: a V (b V c) = (a V b) V c
2. Derivación:
   1. a (Asunción)
   2. a V b (ID(2) - Introducción de Disyunción)
   3. (a V b) V c (ID(3) - Introducción de Disyunción)
   4. b V c (Asunción)
   5. b (Asunción)
   6. a V b (ID(6) - Introducción de Disyunción)
   7. (a V b) V c (ID(7) - Introducción de Disyunción)
   8. c (Asunción)
   9. (a V b) V c (ID(9) - Introducción de Disyunción)
   10. (a V b) V c (ED(5,6-8,9-10) - Eliminación de Disyunción)
   11. a V (b V c) (ED(1,2-4,5-11) - Eliminación de Disyunción)

Distributividad de la Disyunción (DD)

La disyunción se distribuye sobre la conjunción y viceversa.

1. Premisa 1: a V (b & c) = (a V b) & (a V c)
2. Derivación 1: De a V (b & c) a (a V b) & (a V c)
   1. a (Asunción)
   2. a V b (ID(2) - Introducción de Disyunción)
   3. a V c (ID(2) - Introducción de Disyunción)
   4. (a V b) & (a V c) (IC(3,4) - Introducción de Conjunción)
   5. b & c (Asunción)
   6. b (EC(6) - Eliminación de Conjunción)
   7. c (EC(6) - Eliminación de Conjunción)
   8. a V b (ID(7) - Introducción de Disyunción)
   9. a V c (ID(8) - Introducción de Disyunción)
   10. (a V b) & (a V c) (IC(9,10) - Introducción de Conjunción)
   11. (a V b) & (a V c) (DE(1,2-5,6-11) - Eliminación de Disyunción)
3. Premisa 2: (a V b) & (a V c) = a V (b & c)
4. Derivación 2: De (a V b) & (a V c) a a V (b & c)
   1. a V b (EC(1) - Eliminación de Conjunción)
   2. a (Asunción)
   3. a V (b & c) (ID(3) - Introducción de Disyunción)
   4. b (Asunción)
   5. a V c (EC(1) - Eliminación de Conjunción)
   6. a (Asunción)
   7. a V (b & c) (ID(7) - Introducción de Disyunción)
   8. c (Asunción)
   9. b & c (IE(5,9) - Introducción de Conjunción)
   10. a V (b & c) (ID(10) - Introducción de Disyunción)
   11. a V (b & c) (ED(6,7-8,9-11) - Eliminación de Disyunción)
   12. a V (b & c) (ED(2,3-4,5-12) - Eliminación de Disyunción)

Idempotencia de la Disyunción (IdD)

La idempotencia establece que la disyunción de una proposición consigo misma es equivalente a la proposición original.

1. Premisa 1: a V a = a
2. Derivación 1: De a V a a a (por contradicción)
   1. a (Asunción)
   2. ¬a (Asunción para contradicción)
   3. a & ¬a (IC(2,3) - Introducción de Conjunción)
   4. ¬¬a (IN(3-4) - Introducción de Negación)
   5. a (EN(5) - Eliminación de Negación)
   6. a (Asunción)
   7. ¬a (Asunción para contradicción)
   8. a & ¬a (IC(7,8) - Introducción de Conjunción)
   9. ¬¬a (IN(8-9) - Introducción de Negación)
   10. a (EN(10) - Eliminación de Negación)
   11. a (ED(1,2-6,7-11) - Eliminación de Disyunción)
3. Premisa 2: a = a V a
4. Derivación 2: De a a a V a
   1. a V a (ID(1) - Introducción de Disyunción)

Ley de Absorción (AbsD)

La ley de absorción simplifica expresiones que combinan disyunción y conjunción con la misma variable.

1. Premisa 1: a V (a & b) = a
2. Derivación 1: De a V (a & b) a a
   1. a (Asunción)
   2. ¬a (Asunción para contradicción)
   3. a & ¬a (IC(2,3) - Introducción de Conjunción)
   4. ¬¬a (IN(3-4) - Introducción de Negación)
   5. a (EN(5) - Eliminación de Negación)
   6. a & b (Asunción)
   7. a (EC(7) - Eliminación de Conjunción)
   8. a (ED(1,2-6,7-8) - Eliminación de Disyunción)
3. Premisa 2: a = a V (b & c)
4. Derivación 2: De a a a V (b & c)
   1. a V (b & c) (ID(1) - Introducción de Disyunción)

Reglas de Inferencia para la Implicación (→)

Introducción de Implicación (II) / Silogismo Hipotético

Permite inferir una implicación a partir de una cadena de implicaciones.

1. Premisa: (p → r) & (r → q) = p → q
2. Derivación:
   1. p (Asunción)
   2. r (EI(1,3) - Eliminación de Implicación / Modus Ponens)
   3. r → q (Premisa)
   4. p → q (II(3-5) - Introducción de Implicación)

Eliminación de Implicación (EI) / Modus Ponens en Cadena

Demuestra la consecuencia de una serie de implicaciones encadenadas.

1. Premisa: (p → q) & (q → r) & (r → s) & (s → t) & p = t
2. Derivación:
   1. q (EI(1,5) - Eliminación de Implicación)
   2. r (EI(2,6) - Eliminación de Implicación)
   3. s (EI(3,7) - Eliminación de Implicación)
   4. t (EI(4,8) - Eliminación de Implicación)

Silogismo Hipotético (Sil)

Si una proposición implica otra, y esta última implica una tercera, entonces la primera implica la tercera.

1. Premisa: (a → b) & (b → c) = a → c
2. Derivación:
   1. a (Asunción)
   2. b (EI(1,3) - Eliminación de Implicación)
   3. c (EI(2,4) - Eliminación de Implicación)
   4. a → c (II(3-5) - Introducción de Implicación)

Ley de Identidad (Id)

Una proposición es idéntica a sí misma.

1. Premisa: a = a
2. Derivación: (Demostración de a a partir de a por contradicción)
   1. ¬a (Asunción para contradicción)
   2. a & ¬a (IC(1,2) - Introducción de Conjunción)
   3. ¬¬a (IN(2-3) - Introducción de Negación)
   4. a (EN(4) - Eliminación de Negación)

Prueba Condicional (Cpr)

Si una proposición es verdadera, entonces cualquier otra proposición implica la primera.

1. Premisa: a = b → a (Interpretado como a → (b → a))
2. Derivación:
   1. b (Asunción)
   2. ¬a (Asunción para contradicción)
   3. ¬a & a (IC(1,3) - Introducción de Conjunción)
   4. ¬¬a (IN(3-4) - Introducción de Negación)
   5. a (EN(5) - Eliminación de Negación)
   6. b → a (II(2-6) - Introducción de Implicación)

Permutación de Premisas (Mut)

Permite intercambiar el orden de las premisas en una implicación anidada.

1. Premisa: a → (b → c) = b → (a → c)
2. Derivación:
   1. b (Asunción)
   2. a (Asunción)
   3. b → c (EI(1,3) - Eliminación de Implicación)
   4. c (EI(2,4) - Eliminación de Implicación)
   5. a → c (II(3-5) - Introducción de Implicación)
   6. b → (a → c) (II(2-6) - Introducción de Implicación)

Reglas de Inferencia para la Negación (¬)

Contraposición (Cp)

Una implicación es lógicamente equivalente a la implicación de la negación de su consecuente por la negación de su antecedente.

1. Premisa 1: ¬b → ¬a = a → b
2. Derivación 1: De a → b a ¬b → ¬a
   1. ¬b (Asunción)
   2. a (Asunción)
   3. b (EI(1,3) - Eliminación de Implicación)
   4. b & ¬b (IC(2,4) - Introducción de Conjunción)
   5. ¬a (IN(3-5) - Introducción de Negación)
   6. ¬b → ¬a (II(2-6) - Introducción de Implicación)
3. Premisa 2: a → b = ¬b → ¬a
4. Derivación 2: De ¬b → ¬a a a → b
   1. a (Asunción)
   2. ¬b (Asunción para contradicción)
   3. ¬a (EI(1,3) - Eliminación de Implicación)
   4. ¬a & a (IC(2,4) - Introducción de Conjunción)
   5. ¬¬b (IN(3-5) - Introducción de Negación)
   6. b (EN(6) - Eliminación de Negación)
   7. a → b (II(2-7) - Introducción de Implicación)

Modus Tollens (MT)

Si una implicación es verdadera y su consecuente es falso, entonces su antecedente debe ser falso.

1. Premisa: (a → b) & ¬b = ¬a
2. Derivación:
   1. a (Asunción para contradicción)
   2. b (EI(1,3) - Eliminación de Implicación)
   3. b & ¬b (IC(2,4) - Introducción de Conjunción)
   4. ¬a (IN(3-5) - Introducción de Negación)

Ex Contradictione Quodlibet (ECQ) / Principio de Explosión

De una contradicción se puede inferir cualquier proposición.

1. Premisa: a & ¬a = b
2. Derivación:
   1. ¬b (Asunción para contradicción)
   2. a (EC(1) - Eliminación de Conjunción)
   3. ¬a (EC(1) - Eliminación de Conjunción)
   4. a & ¬a (IC(3,4) - Introducción de Conjunción)
   5. ¬¬b (IN(2-5) - Introducción de Negación)
   6. b (EN(6) - Eliminación de Negación)

Principio de No Contradicción (PNC)

Una proposición no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo.

1. Premisa: a & ¬a = ¬(a & ¬a) (Interpretado como la demostración de ¬(a & ¬a))
2. Derivación:
   1. a (EC(1) - Eliminación de Conjunción)
   2. ¬a (EC(1) - Eliminación de Conjunción)
   3. a & ¬a (IC(2,3) - Introducción de Conjunción)
   4. ¬(a & ¬a) (IN(1-4) - Introducción de Negación)

Principio del Tercero Excluido (PTE)

Una proposición es verdadera o su negación es verdadera; no hay una tercera opción.

1. Premisa: ¬(a & ¬a) = a & ¬a (Interpretado como la demostración de a V ¬a)
2. Derivación: (Demostración de a & ¬a a partir de ¬(a & ¬a) por contradicción, lo que es inusual. Se asume que el objetivo es demostrar a V ¬a, pero la notación original es confusa.)
   1. a (Asunción)
   2. a & ¬a (ID(2) - Introducción de Disyunción)
   3. (a & ¬a) & ¬(a & ¬a) (IC(3) - Introducción de Conjunción)
   4. ¬a (IN(2-4) - Introducción de Negación)
   5. a & ¬a (ID(5) - Introducción de Disyunción)
   6. (a & ¬a) & ¬(a & ¬a) (IC(1,6) - Introducción de Conjunción)
   7. ¬¬(a & ¬a) (IN(1-7) - Introducción de Negación)
   8. a & ¬a (EN(8) - Eliminación de Negación)